Notes for AKT-140307/0:41:01

Proposition: $CS(A^g) = CS(A)+\frac13 \int_\mathbb{R^3}Tr(g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g)$ $$CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3} Tr(A^g \wedge d A^g + \frac23 A^g \wedge A^g \wedge A^g)$$ $$Tr(A^g \wedge d A^g + \frac23 A^g \wedge A^g \wedge A^g) =$$ $$Tr((g^{-1} A g + g^{-1} dg)\wedge d(g^{-1} A g + g^{-1} dg)+\frac23((g^{-1} A g + g^{-1} dg)\wedge(g^{-1} A g + g^{-1} dg)\wedge(g^{-1} A g + g^{-1} dg)))=$$ $$Tr(g^{-1} A \wedge (d A) g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge g^{-1} A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} (d A) g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g +$$ $$g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge A g - g^{-1} A \wedge A \wedge d g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge d g + g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +$$ $$\frac23 Tr( g^{-1} A \wedge A \wedge A g + g^{-1} A \wedge A \wedge d g + g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} A g + g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g +$$ $$g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g + g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g) $$

Now $0 = d (g^{-1} g) = (d g) g^{-1} + g d g^{-1}$

So $(dg) g^{-1} = - g d g^{-1}$

Applying this to the fifth and seventh terms of the equation above yields $$ g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge A g = g^{-1} d g \wedge d g^{-1} g \wedge g^{-1} A g = - g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} A g$$ and $$g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge d g = g^{-1} A g \wedge d g^{-1} g \wedge g^{-1} d g = - g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g $$

Combining this with the fact that the trace is invariant under cyclic permutations show that

$$Tr(g^{-1} A \wedge (d A) g - 2 g^{-1} A \wedge A \wedge d g - 2 g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g +g^{-1} d g \wedge g^{-1} d A g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g + g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +$$ $$ \frac23 Tr( g^{-1} A \wedge A \wedge A g + 3 g^{-1} A \wedge A \wedge d g + 3 g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g +g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g) =$$ $$Tr(g^{-1} A \wedge d A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d A g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g+ g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) + \frac23 Tr( g^{-1} A \wedge A \wedge A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g)$$ Now deal with the extra terms $$Tr(g^{-1} d g \wedge g^{-1} (d A) g ) = Tr(g^{-1} d g \wedge d(g^{-1} A) g - g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge A g) = Tr(g^{-1} d g \wedge d(g^{-1} A) g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g)$$ Finally $$Tr(g^{-1} d g \wedge d(g^{-1} A) g) = Tr(d g \wedge d(g^{-1} A)) = Tr(d (gd(g^{-1} A))) = d Tr(g d(g^{-1} A))$$ This shows that $$CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3}Tr(g^{-1} A \wedge (d A) g + \frac23 g^{-1} A \wedge A \wedge A g + \frac13 g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +\int_\mathbb{R^3} d Tr(g d(g^{-1} A))$$

If we assuming that A and g are compactly supported then by Stokes' theorem $$\int_\mathbb{R^3}d Tr(g d(g^{-1} A)) = 0$$

So

$$CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3}Tr(g^{-1} A \wedge (d A) g + \frac23 g^{-1} A \wedge A \wedge A g + \frac13 g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g)$$ $$=\int_\mathbb{R^3}Tr(g^{-1} A \wedge (d A) g + \frac23 g^{-1} A \wedge A \wedge A g) +\frac13 \int_\mathbb{R^3}Tr(g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g)$$ $$=\int_\mathbb{R^3}Tr(A \wedge d A + \frac23 A \wedge A \wedge A) +\frac13 \int_\mathbb{R^3}Tr(g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g)$$ $$=CS(A)+\frac13 \int_\mathbb{R^3}Tr(g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g)$$

If we define $CS_1(A,g)=CS(A^g)-CS(0^g)$ Then $$CS_1(A,g) = CS(A^g) - \frac13 \int_\mathbb{R^3}Tr(g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g) = CS_1(A,I) = CS(A)$$