Notes for AKT-140307/0:41:01 - Revision history

Gavin.hurd at 00:15, 25 August 2018

2018-08-25T00:15:01Z

@@ Line 1: / Line 1: @@
-'''Proposition: '''$CS(A^g) = CS(A)$
+'''Proposition: '''$CS(A^g) = CS(A)+\frac13 \int_\mathbb{R^3}Tr(g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g)$
 $$CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3} Tr(A^g \wedge d A^g + \frac23 A^g \wedge A^g \wedge A^g)$$
 $$Tr(A^g \wedge d A^g + \frac23 A^g \wedge A^g \wedge A^g) =$$
@@ Line 17: / Line 17: @@
 $$g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge d g = g^{-1} A g \wedge d g^{-1} g \wedge g^{-1} d g = - g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g $$
-Combining this with the fact that the trace is invariant under cyclic permutations show that the
+Combining this with the fact that the trace is invariant under cyclic permutations show that
 $$Tr(g^{-1} A \wedge (d A) g - 2 g^{-1} A \wedge A \wedge d g - 2 g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g +g^{-1} d g \wedge g^{-1} d A g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g + g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +$$
@@ Line 27: / Line 27: @@
 $$Tr(g^{-1} d g \wedge d(g^{-1} A) g) = Tr(d g \wedge d(g^{-1} A)) = Tr(d (gd(g^{-1} A))) = d Tr(g d(g^{-1} A))$$
 This shows that
-$$CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3}Tr(g^{-1} A \wedge (d A) g + g^{-1} A \wedge A \wedge A g + \frac13 g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +\int_\mathbb{R^3} d Tr(g d(g^{-1} A))$$
+$$CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3}Tr(g^{-1} A \wedge (d A) g + \frac23 g^{-1} A \wedge A \wedge A g + \frac13 g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +\int_\mathbb{R^3} d Tr(g d(g^{-1} A))$$

Gavin.hurd at 18:52, 20 August 2018

2018-08-20T18:52:50Z

← Older revision		Revision as of 14:52, 20 August 2018
Line 1:		Line 1:
	'''Proposition: '''$CS(A^g) = CS(A)$		'''Proposition: '''$CS(A^g) = CS(A)$
	$$CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3} Tr(A^g \wedge d A^g + \frac23 A^g \wedge A^g \wedge A^g)$$		$$CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3} Tr(A^g \wedge d A^g + \frac23 A^g \wedge A^g \wedge A^g)$$
	$$Tr(A^g \wedge d A^g + \frac23 A^g \wedge A^g \wedge A^g) =$$		$$Tr(A^g \wedge d A^g + \frac23 A^g \wedge A^g \wedge A^g) =$$
			$$Tr((g^{-1} A g + g^{-1} dg)\wedge d(g^{-1} A g + g^{-1} dg)+\frac23((g^{-1} A g + g^{-1} dg)\wedge(g^{-1} A g + g^{-1} dg)\wedge(g^{-1} A g + g^{-1} dg)))=$$
	$$Tr(g^{-1} A \wedge (d A) g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge g^{-1} A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} (d A) g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g +$$		$$Tr(g^{-1} A \wedge (d A) g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge g^{-1} A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} (d A) g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g +$$
	$$g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge A g - g^{-1} A \wedge A \wedge d g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge d g + g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +$$		$$g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge A g - g^{-1} A \wedge A \wedge d g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge d g + g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +$$

Gavin.hurd at 18:36, 20 August 2018

2018-08-20T18:36:48Z

Gavin.hurd at 05:28, 26 July 2018

2018-07-26T05:28:30Z

← Older revision		Revision as of 01:28, 26 July 2018
Line 1:		Line 1:
			'''Proposition: '''$CS(A^g) = CS(A)$
⚫	$~~CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3}~~ Tr(A^g \wedge d A^g + A^g \wedge A^g \wedge A^g)$
	$$Tr(A^g \wedge d A^g + A^g \wedge A^g \wedge A^g) =$$		$$CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3} Tr(A^g \wedge d A^g + \frac23 A^g \wedge A^g \wedge A^g)$$
		⚫	$$Tr(A^g \wedge d A^g + \frac23 A^g \wedge A^g \wedge A^g) =$$
	$$Tr(g^{-1} A \wedge d A g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge g^{-1} A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d A g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g +$$		$$Tr(g^{-1} A \wedge d A g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge g^{-1} A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d A g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g +$$
	$$g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge A g - g^{-1} A \wedge A \wedge d g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge d g + g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +$$		$$g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge A g - g^{-1} A \wedge A \wedge d g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge d g + g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +$$

Gavin.hurd: Created page with "$CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3} Tr(A^g \wedge d A^g + A^g \wedge A^g \wedge A^g)$ $$Tr(A^g \wedge d A^g + A^g \wedge A^g \wedge A^g) =$$ $$Tr(g^{-1} A \wedge d A g + g^{-1} A g \w..."

2018-07-26T05:25:26Z

Created page with "$CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3} Tr(A^g \wedge d A^g + A^g \wedge A^g \wedge A^g)$ $$Tr(A^g \wedge d A^g + A^g \wedge A^g \wedge A^g) =$$ $$Tr(g^{-1} A \wedge d A g + g^{-1} A g \w..."

New page

$CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3} Tr(A^g \wedge d A^g + A^g \wedge A^g \wedge A^g)$
$$Tr(A^g \wedge d A^g + A^g \wedge A^g \wedge A^g) =$$
$$Tr(g^{-1} A \wedge d A g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge g^{-1} A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d A g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g +$$
$$g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge A g - g^{-1} A \wedge A \wedge d g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge d g + g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +$$
$$\frac23 Tr( g^{-1} A \wedge A \wedge A g + g^{-1} A \wedge A \wedge d g + g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} A g + g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g +$$
$$g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g + g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g) $$

Now $0 = d g^{-1} g = d g g^{-1} + g d g^{-1}$

So $d g g^{-1} = - g d g^{-1}$

Applying this to the fifth and seventh terms of the equation above yields
$$ g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge A g = g^{-1} d g \wedge d g^{-1} g \wedge g^{-1} A g = - g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} A g$$
and
$$g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge d g = g^{-1} A g \wedge d g^{-1} g \wedge g^{-1} d g = - g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g $$

Combining this with the fact that the trace is invariant under cyclic permutations show that the

$$Tr(g^{-1} A \wedge d A g - 2 g^{-1} A \wedge A \wedge d g - 2 g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g +g^{-1} d g \wedge g^{-1} d A g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g + g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +$$
$$ \frac23 Tr( g^{-1} A \wedge A \wedge A g + 3 g^{-1} A \wedge A \wedge d g + 3 g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g +g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g) =$$
$$Tr(g^{-1} A \wedge d A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d A g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g+ g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) + \frac23 Tr( g^{-1} A \wedge A \wedge A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g)$$
Now deal with the extra terms
$$Tr(g^{-1} d g \wedge g^{-1} d A g ) = Tr(g^{-1} d g \wedge d(g^{-1} A) g - g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge A g) = Tr(g^{-1} d g \wedge d(g^{-1} A) g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g)$$
Finally
$$Tr(g^{-1} d g \wedge d(g^{-1} A) g) = Tr(d g \wedge d(g^{-1} A)) = Tr(d (gd(g^{-1} A))) = d Tr(g d(g^{-1} A))$$
Substituting this into equation one and rearranging gives.
$$Tr(g^{-1} A \wedge d A g + g^{-1} A \wedge A \wedge A g + \frac13 g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) + d Tr(g d(g^{-1} A))$$
A similar argument shows that
$$Tr(g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g) = -Tr(g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) = dTr( $$
to be completed

← Older revision		Revision as of 14:36, 20 August 2018
Line 2:		Line 2:
	$$CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3} Tr(A^g \wedge d A^g + \frac23 A^g \wedge A^g \wedge A^g)$$		$$CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3} Tr(A^g \wedge d A^g + \frac23 A^g \wedge A^g \wedge A^g)$$
	$$Tr(A^g \wedge d A^g + \frac23 A^g \wedge A^g \wedge A^g) =$$		$$Tr(A^g \wedge d A^g + \frac23 A^g \wedge A^g \wedge A^g) =$$
	$$Tr(g^{-1} A \wedge d A g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge g^{-1} A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d A g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g +$$		$$Tr(g^{-1} A \wedge (d A) g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge g^{-1} A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} (d A) g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g +$$
	$$g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge A g - g^{-1} A \wedge A \wedge d g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge d g + g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +$$		$$g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge A g - g^{-1} A \wedge A \wedge d g + g^{-1} A g \wedge d g^{-1} \wedge d g + g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +$$
	$$\frac23 Tr( g^{-1} A \wedge A \wedge A g + g^{-1} A \wedge A \wedge d g + g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} A g + g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g +$$		$$\frac23 Tr( g^{-1} A \wedge A \wedge A g + g^{-1} A \wedge A \wedge d g + g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} A g + g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g +$$
	$$g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g + g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g) $$		$$g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g + g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g) $$

	Now $0 = d g^{-1} g = d g g^{-1} + g d g^{-1}$		Now $0 = d (g^{-1} g) = (d g) g^{-1} + g d g^{-1}$

	So $~~d g~~ g^{-1} = - g d g^{-1}$		So $(dg) g^{-1} = - g d g^{-1}$

	Applying this to the fifth and seventh terms of the equation above yields		Applying this to the fifth and seventh terms of the equation above yields
Line 18:		Line 18:
	Combining this with the fact that the trace is invariant under cyclic permutations show that the		Combining this with the fact that the trace is invariant under cyclic permutations show that the

	$$Tr(g^{-1} A \wedge d A g - 2 g^{-1} A \wedge A \wedge d g - 2 g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g +g^{-1} d g \wedge g^{-1} d A g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g + g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +$$		$$Tr(g^{-1} A \wedge (d A) g - 2 g^{-1} A \wedge A \wedge d g - 2 g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g +g^{-1} d g \wedge g^{-1} d A g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g + g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +$$
	$$ \frac23 Tr( g^{-1} A \wedge A \wedge A g + 3 g^{-1} A \wedge A \wedge d g + 3 g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g +g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g) =$$		$$ \frac23 Tr( g^{-1} A \wedge A \wedge A g + 3 g^{-1} A \wedge A \wedge d g + 3 g^{-1} A g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g +g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g) =$$
	$$Tr(g^{-1} A \wedge d A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d A g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g+ g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) + \frac23 Tr( g^{-1} A \wedge A \wedge A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g)$$		$$Tr(g^{-1} A \wedge d A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d A g - g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g+ g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) + \frac23 Tr( g^{-1} A \wedge A \wedge A g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g)$$
	Now deal with the extra terms		Now deal with the extra terms
	$$Tr(g^{-1} d g \wedge g^{-1} d A g ) = Tr(g^{-1} d g \wedge d(g^{-1} A) g - g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge A g) = Tr(g^{-1} d g \wedge d(g^{-1} A) g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g)$$		$$Tr(g^{-1} d g \wedge g^{-1} (d A) g ) = Tr(g^{-1} d g \wedge d(g^{-1} A) g - g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge A g) = Tr(g^{-1} d g \wedge d(g^{-1} A) g + g^{-1} d g \wedge g^{-1} A \wedge d g)$$
	Finally		Finally
	$$Tr(g^{-1} d g \wedge d(g^{-1} A) g) = Tr(d g \wedge d(g^{-1} A)) = Tr(d (gd(g^{-1} A))) = d Tr(g d(g^{-1} A))$$		$$Tr(g^{-1} d g \wedge d(g^{-1} A) g) = Tr(d g \wedge d(g^{-1} A)) = Tr(d (gd(g^{-1} A))) = d Tr(g d(g^{-1} A))$$
			This shows that
	Substituting this into equation one and rearranging gives.
	$$Tr(g^{-1} A \wedge d A g + g^{-1} A \wedge A \wedge A g + \frac13 g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) + d Tr(g d(g^{-1} A))$$		$$CS(A^g)=\int_\mathbb{R^3}Tr(g^{-1} A \wedge (d A) g + g^{-1} A \wedge A \wedge A g + \frac13 g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) +\int_\mathbb{R^3} d Tr(g d(g^{-1} A))$$
	A similar argument shows that		A similar argument shows that
	$$Tr(g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g) = -Tr(g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) = dTr( $$		$$Tr(g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g \wedge g^{-1} d g) = -Tr(g^{-1} d g \wedge d g^{-1} \wedge d g) = dTr( $$