Pensieve header: Examples for the Da-Nang talk: Double Integration and the trefoil.

Startup

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Talks\\Sydney-191002"];

hm

{ρx=(({{0, 1, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}})),ρy=(({{0, 0, 0}, {0, 0, ℏ}, {0, 0, 0}})),ρc=(({{0, 0, 1}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}))};
{ρx.ρy-ρy.ρx==ℏ ρc, ρx.ρc==ρc.ρx,ρy.ρc==ρc.ρy}

Λ=-ℏ (Subscript[η, i])(Subscript[ξ, j])(Subscript[c, k])+((Subscript[ξ, i])+(Subscript[ξ, j]))(Subscript[x, k])+((Subscript[η, i])+(Subscript[η, j]))(Subscript[y, k]);
Simplify@With[{𝔼=MatrixExp},
𝔼[(Subscript[ξ, i]) ρx].𝔼[(Subscript[η, i]) ρy].𝔼[(Subscript[ξ, j]) ρx].𝔼[(Subscript[η, j]) ρy]==𝔼[(∂_(Subscript[x, k]))Λ ρx].𝔼[(∂_(Subscript[y, k]))Λ ρy].𝔼[(∂_(Subscript[c, k]))Λ ρc]]

A failing attempt to figure out dilations

DSolve[{λ[0,y]==1, (∂_α)λ[α,y]==x y λ[α,y]-ℏ y (∂_y)λ[α,y]},{λ[α,y]},{α,y}]

With[{λ=(E^(α x y/(1- α ℏ)))(((1- α ℏ))^(-1))},
Simplify[(∂_α)λ==x y λ-ℏ y (∂_y)λ] ]

Coefficient[q-x y α+(q^2) α (1+x y α) ℏ+q x y α (2-α ℏ),α]

cm

Λ0=HoldForm[((Subscript[η, i])+(((E^(-(Subscript[α, i])-ϵ (Subscript[β, i]))) (Subscript[η, j]))/(1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i]))))(Subscript[y, k])+((Subscript[β, i])+(Subscript[β, j])+((Log[1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i])])/ϵ))(Subscript[b, k])+((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j])+Log[1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i])])(Subscript[a, k])+((((E^(-(Subscript[α, j])-ϵ (Subscript[β, j]))) (Subscript[ξ, i]))/(1+ϵ (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i])))+(Subscript[ξ, j]))(Subscript[x, k])];
TeXForm[Λ0]
Λ=ReleaseHold[Λ0]

{ρy=(({{0, 0}, {ϵ, 0}})),ρb=(({{0, 0}, {0, -ϵ}})),ρa=(({{1, 0}, {0, 0}})),ρx=(({{0, 1}, {0, 0}}))};
{ρa.ρx-ρx.ρa==ρx, ρa.ρy-ρy.ρa==-ρy,ρb.ρy-ρy.ρb==-ϵ ρy, ρb.ρx-ρx.ρb==ϵ ρx,ρx.ρy-ρy.ρx==ρb+ϵ ρa}

Simplify@With[{𝔼=MatrixExp},
𝔼[(Subscript[η, i]) ρy].𝔼[(Subscript[β, i]) ρb].𝔼[(Subscript[α, i]) ρa].𝔼[(Subscript[ξ, i]) ρx].𝔼[(Subscript[η, j]) ρy].𝔼[(Subscript[β, j]) ρb].𝔼[(Subscript[α, j]) ρa].𝔼[(Subscript[ξ, j]) ρx]==𝔼[(∂_(Subscript[y, k]))Λ ρy].𝔼[(∂_(Subscript[b, k]))Λ ρb].𝔼[(∂_(Subscript[a, k]))Λ ρa].𝔼[(∂_(Subscript[x, k]))Λ ρx]]

Series[Λ,{ϵ,0,2}]