The Turbo-Gassner Representation

Pensieve header: The turbo Gassner representation for the June 6 PolyPoly meeting. Based on pensieve://2016-06/.

Kδ /: (Subscript[Kδ, is__]):=KroneckerDelta[1,Length[Union[{is}]]];

The Burau Representation

(Subscript[B, i_,j_])[ξ_]:=ξ/.(Subscript[v, j]):>(1-t)(Subscript[v, i])+t (Subscript[v, j])

Column@{R3l={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[B, 1,2])//(Subscript[B, 1,3])//(Subscript[B, 2,3]),
R3r={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[B, 2,3])//(Subscript[B, 1,3])//(Subscript[B, 1,2]) ,
R3l-R3r // Expand}

The Gassner Representation

(Subscript[G, i_,j_])[ξ_]:=ξ/.(Subscript[v, j]):>(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[v, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[v, j])

Column@{R3l={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,2])//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 2,3]),
R3r={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 2,3])//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 1,2]) ,
R3l-R3r // Expand}

Column@{OCl={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,2])//(Subscript[G, 1,3]),
OCr={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 1,2]) ,
OCl-OCr // Expand}

Column@{UCl={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 2,3]),
UCr={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 2,3])//(Subscript[G, 1,3]) ,
UCl-UCr // Expand}

The Gassner-Plus Representation

(Subscript[GP, i_,j_])[ξ_]:=Expand[ξ/.{(Subscript[u, j]):>(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[u, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[u, j]),
f_.(Subscript[v, j]):>f(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[v, i])+f (Subscript[t, i])(Subscript[v, j])+
((Subscript[t, i])-1)((Subscript[t, i])(∂_(Subscript[t, i]))f-(Subscript[t, j])(∂_(Subscript[t, j]))f)(Subscript[u, i])+f (Subscript[t, i])(Subscript[u, i])  }];

GPchecks={f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),(Subscript[u, 3])};

R3l=GPchecks//(Subscript[GP, 1,2])//(Subscript[GP, 1,3])//(Subscript[GP, 2,3])

R3r=GPchecks//(Subscript[GP, 2,3])//(Subscript[GP, 1,3])//(Subscript[GP, 1,2]); R3l-R3r

OCl=GPchecks//(Subscript[GP, 1,2])//(Subscript[GP, 1,3])

OCr=GPchecks//(Subscript[GP, 1,3])//(Subscript[GP, 1,2]); OCl-OCr

Question. Does GP factor through G? How?

The Turbo-Gassner Representation

(Subscript[TG, i_,j_])[ξ_] := Expand[ξ /. {
f_. (Subscript[v, k_]):>Plus[f (Subscript[v, k])/.(Subscript[v, j])->(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[v, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[v, j]),
(1-((Subscript[t, i])^(-1)))((Subscript[t, i]) (∂_(Subscript[t, i]))f-(Subscript[t, j]) (∂_(Subscript[t, j]))f)
((Subscript[u, k])/.(Subscript[u, j])->(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[u, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[u, j]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),
(Subscript[Kδ, k,i])f((Subscript[u, j])-(Subscript[u, i]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])],
(Subscript[u, j])->(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[u, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[u, j]),
(Subscript[w, i])->(Subscript[w, i])+(1-((Subscript[t, i])^(-1)))(Subscript[w, j]), (Subscript[w, j])->((Subscript[t, i])^(-1))(Subscript[w, j])}];

TGchecks={f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),(Subscript[u, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])};

Short[R3l=TGchecks//(Subscript[TG, 1,2])//(Subscript[TG, 1,3])//(Subscript[TG, 2,3]),10]

R3r=TGchecks//(Subscript[TG, 2,3])//(Subscript[TG, 1,3])//(Subscript[TG, 1,2]); R3l-R3r

Short[OCl=TGchecks // (Subscript[TG, 1,2])//(Subscript[TG, 1,3])]

OCr=TGchecks//(Subscript[TG, 1,3])//(Subscript[TG, 1,2]); OCl-OCr

The Turbo-Burau Representation

η/:((η[i_])^2)=0; η/:η[i_]η[j_]=0;
(Subscript[TB, i_,j_])[ξ_] := 
Expand[ξ /. {
f_. (Subscript[v, k_]):>Plus[f (Subscript[v, k])/.(Subscript[v, j])->(1-t-η[i])(Subscript[v, i])+(t+η[i]) (Subscript[v, j]),
(t-1)(Coefficient[f,η[i]]-Coefficient[f,η[j]])((Subscript[u, k])/.(Subscript[u, j])->(1-t)(Subscript[u, i])+t (Subscript[u, j]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),
(Subscript[Kδ, k,i])(f/._η->0)((Subscript[u, j])-(Subscript[u, i]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])],
(Subscript[u, j])->(1-t)(Subscript[u, i])+t (Subscript[u, j]),
(Subscript[w, i])->(Subscript[w, i])+(1-(t^(-1)))(Subscript[w, j]), (Subscript[w, j])->(t^(-1))(Subscript[w, j])}];
ff=(Subscript[f, 0])+(Subscript[f, 1])η[1]+(Subscript[f, 2])η[2]+(Subscript[f, 3])η[3];
checks={ff (Subscript[v, 1]),ff (Subscript[v, 2]),ff (Subscript[v, 3]),(Subscript[u, 1]^2) (Subscript[w, 1]),(Subscript[u, 1]^2) (Subscript[w, 2]),(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),(Subscript[u, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])};

Short[R3l=checks//(Subscript[TB, 1,2])//(Subscript[TB, 1,3])//(Subscript[TB, 2,3]),10]

R3r=checks//(Subscript[TB, 2,3])//(Subscript[TB, 1,3])//(Subscript[TB, 1,2]); R3l-R3r

Short[OCl=checks // (Subscript[TB, 1,2])//(Subscript[TB, 1,3])]

OCr=checks//(Subscript[TB, 1,3])//(Subscript[TB, 1,2]); OCl-OCr