Pensieve header: Implementing $\rho_1$, and also $\rho_d$.

nb2tex$TeXFileName = "Rho1.tex";

Preliminaries

This is Rho.nb of http://drorbn.net/oa22/ap.

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Talks\\Oaxaca-2210"];

Once[<<KnotTheory`; <<Rot.m];

The Program

(Subscript[R, 1])[s_,i_,j_]:=s((Subscript[g, j,i])((Subscript[g, (SuperPlus[j]),j])+(Subscript[g, j,(SuperPlus[j])])-(Subscript[g, i,j]))-(Subscript[g, i,i])((Subscript[g, j,(SuperPlus[j])])-1)-1/2);
Z[K_]:=Module[{Cs,φ,n,A,s,i,j,k,Δ,G,ρ1},
{Cs,φ}=Rot[K]; n=Length[Cs];
A=IdentityMatrix[2n+1];
Cases[Cs,{s_,i_,j_}:>(A[[{i,j},{i+1,j+1}]]+=(({{-(T^s), (T^s)-1}, {0, -1}})))];
Δ=(T^((-Total[φ]-Total[Cs[[All,1]]])/2))Det[A];
G=Inverse[A];
ρ1=(∑_(k=1)^n)(Subscript[R, 1])@@Cs[[k]] - (∑_(k=1)^(2n))φ[[k]]((Subscript[g, k,k])-1/2);
Factor@{Δ,(Δ^2)ρ1/.(SuperPlus[α_]):>α+1/.(Subscript[g, α_,β_]):>G[[α,β]]}];

The First Few Knots

TableForm[Table[Join[{(Subscript[K[[1]], K[[2]]])},Z[K]], {K,AllKnots[{3,6}]}], TableAlignments->Center]

\def\nbpdfText#1{\vskip -3mm\[ \includegraphics[width=0.4\linewidth]{#1}\quad p=1-T^s \]}

\def\nbpdfText#1{\vskip 1mm\par\noindent\includegraphics{#1}}

\needspace{2in}

Fast!

\[ \resizebox{\linewidth}{!}{\import{../Waco-2203/}{GST48-Marked.pdf_t}} \]

Timing@Z[GST48=EPD[(Subscript[X, 14,1]),(Subscript[(OverBar[X]), 2,29]),(Subscript[X, 3,40]),(Subscript[X, 43,4]),(Subscript[(OverBar[X]), 26,5]),(Subscript[X, 6,95]),(Subscript[X, 96,7]),(Subscript[X, 13,8]),(Subscript[(OverBar[X]), 9,28]),(Subscript[X, 10,41]),(Subscript[X, 42,11]),(Subscript[(OverBar[X]), 27,12]),(Subscript[X, 30,15]),(Subscript[(OverBar[X]), 16,61]),(Subscript[(OverBar[X]), 17,72]),(Subscript[(OverBar[X]), 18,83]),(Subscript[X, 19,34]),(Subscript[(OverBar[X]), 89,20]),(Subscript[(OverBar[X]), 21,92]),(Subscript[(OverBar[X]), 79,22]),(Subscript[(OverBar[X]), 68,23]),(Subscript[(OverBar[X]), 57,24]),(Subscript[(OverBar[X]), 25,56]),(Subscript[X, 62,31]),(Subscript[X, 73,32]),(Subscript[X, 84,33]),(Subscript[(OverBar[X]), 50,35]),(Subscript[X, 36,81]),(Subscript[X, 37,70]),(Subscript[X, 38,59]),(Subscript[(OverBar[X]), 39,54]),(Subscript[X, 44,55]),(Subscript[X, 58,45]),(Subscript[X, 69,46]),(Subscript[X, 80,47]),(Subscript[X, 48,91]),(Subscript[X, 90,49]),(Subscript[X, 51,82]),(Subscript[X, 52,71]),(Subscript[X, 53,60]),(Subscript[(OverBar[X]), 63,74]),(Subscript[(OverBar[X]), 64,85]),(Subscript[(OverBar[X]), 76,65]),(Subscript[(OverBar[X]), 87,66]),(Subscript[(OverBar[X]), 67,94]),(Subscript[(OverBar[X]), 75,86]),(Subscript[(OverBar[X]), 88,77]),(Subscript[(OverBar[X]), 78,93])]]

Strong!

{NumberOfKnots[{3,12}],
Length@Union@Table[Z[K],{K,AllKnots[{3,12}]}],
Length@Union@Table[{HOMFLYPT[K], Kh[K]},{K,AllKnots[{3,12}]}]}

2977-{2882,2785}

So the pair $(\Delta,\rho_1)$ attains 2,882 distinct values on the 2,977 prime knots with up to 12 crossings (a deficit of 95), whereas the pair (HOMFLYPT, Khovanov Homology) attains only 2,785 distinct values on the same knots (a deficit of 192).

\def\nbpdfText#1{\vskip 1mm\par\noindent\includegraphics[width=\linewidth]{#1}}

({{, , , , , , , , }, {Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish, Yetter, Przytycki, Traczyk, Khovanov}})

\def\nbpdfText#1{\vskip 1mm\par\noindent\includegraphics{#1}}

Invariance under R3

nb2tex$TeXFileName = "Invariance.tex";

(Subscript[δ, i_,j_]):=If[i===j,1,0];
(Subscript[gRules, s_,i_,j_]):={(Subscript[g, i,β_]):>(Subscript[δ, i,β])+(T^s)(Subscript[g, (SuperPlus[i]),β])+(1-(T^s))(Subscript[g, (SuperPlus[j]),β]),(Subscript[g, j,β_]):>(Subscript[δ, j,β])+(Subscript[g, (SuperPlus[j]),β]),
(Subscript[g, α_,i]):>(T^(-s))((Subscript[g, α,(SuperPlus[i])])-(Subscript[δ, α,(SuperPlus[i])])),(Subscript[g, α_,j]):>(Subscript[g, α,(SuperPlus[j])])-(1-(T^s))(Subscript[g, α,i])-(Subscript[δ, α,(SuperPlus[j])])}

Proof of Reidemeister 3:

lhs=(Subscript[R, 1])[1,j,k]+(Subscript[R, 1])[1,i,(SuperPlus[k])]+(Subscript[R, 1])[1,(SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])]//.(Subscript[gRules, 1,j,k])⋃(Subscript[gRules, 1,i,(SuperPlus[k])])⋃(Subscript[gRules, 1,(SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])]);
rhs=(Subscript[R, 1])[1,i,j]+(Subscript[R, 1])[1,(SuperPlus[i]),k]+(Subscript[R, 1])[1,(SuperPlus[j]),(SuperPlus[k])]//.(Subscript[gRules, 1,i,j])⋃(Subscript[gRules, 1,(SuperPlus[i]),k])⋃(Subscript[gRules, 1,(SuperPlus[j]),(SuperPlus[k])]);
Simplify[lhs==rhs]

Next comes Reid1, where we use results from an earlier example:

(({{1, (T^(-1)), 1}, {0, (T^(-1)), 1}, {0, 0, 1}}))//Inverse//MatrixForm

(Subscript[R, 1])[1,2,1]-1((Subscript[g, 2,2])-1/2) /. (Subscript[g, α_,β_]):>(({{1, (T^(-1)), 1}, {0, (T^(-1)), 1}, {0, 0, 1}}))[[α,β]]

Invariance under the other moves is proven similarly.

nb2tex$TeXFileName = "Rhod.tex";
nb2tex$PDFWidth = 4.2/0.7;

On to (Subscript[ρ, d])!

{\bf\red Implementation.} Data, then program (with output using the \text{Conway} variable $z=\sqrt{T}-1/\sqrt{T}$), and then a demo. See {\tt Rho.nb} of \web{ap}.
\def\nbpdfInput#1{\vskip 1mm\par\noindent\includegraphics[scale=0.7]{#1}}
\def\nbpdfOutput#1{\vskip 1mm\par\noindent\includegraphics[scale=0.7]{#1}}

V@(Subscript[γ, 1,φ_])[k_]=φ (1/2-(Subscript[(OverBar[p]), k]) (Subscript[(OverBar[x]), k])); V@(Subscript[γ, 2,φ_])[k_]=-(φ^2)(Subscript[(OverBar[p]), k]) (Subscript[(OverBar[x]), k])/2; V@(Subscript[γ, 3,φ_])[k_]:=-(φ^3) (Subscript[(OverBar[p]), k]) (Subscript[(OverBar[x]), k])/6

V@(Subscript[r, 1,s_])[i_,j_]:=s (-1+2 (Subscript[p, i]) (Subscript[x, i])-2 (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i])+(-1+(T^s)) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^2)+(1-(T^s)) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2)-2 (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j])+2 (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]))/2

V@(Subscript[r, 2,1])[i_,j_]:=(-6 (Subscript[p, i]) (Subscript[x, i])+6 (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i])-3 (-1+3 T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^2)+3 (-1+3 T) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2)+4 (-1+T) (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^3)-2 (-1+T) (5+T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^3)+2 (-1+T) (3+T) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^3)+18 (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j])-18 (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j])-6 (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])+6 (2+T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])-6 (1+T) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])-6 (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^2)+6 (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^2))/12

V@(Subscript[r, 2,-1])[i_,j_]:=(-6 (T^2) (Subscript[p, i]) (Subscript[x, i])+6 (T^2) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i])+3 (-3+T) T (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^2)-3 (-3+T) T (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2)-4 (-1+T) T (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^3)+2 (-1+T) (1+5 T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^3)-2 (-1+T) (1+3 T) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^3)+18 (T^2) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j])-18 (T^2) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j])-6 (T^2) (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])+6 T (1+2 T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])-6 T (1+T) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])-6 (T^2) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^2)+6 (T^2) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^2))/(12(T^2))

V@(Subscript[r, 3,1])[i_,j_]:=(4 (Subscript[p, i]) (Subscript[x, i])-4 (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i])+2 (5+7 T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^2)-2 (5+7 T) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2)-4 (-5+6 T) (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^3)+4 (-16+17 T+2 (T^2)) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^3)-4 (-11+11 T+2 (T^2)) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^3)+3 (-1+T) (Subscript[p, i]^3) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^4)-3 (-1+T) (4+3 T) (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^4)+(-1+T) (13+22 T+(T^2)) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^4)-(-1+T) (4+13 T+(T^2)) (Subscript[p, j]^4) (Subscript[x, i]^4)-28 (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j])+28 (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j])+36 (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])-12 (9+2 T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])+24 (3+T) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])-4 (Subscript[p, i]^3) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^3) (Subscript[x, j])+28 T (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^3) (Subscript[x, j])-4 (-6+17 T+(T^2)) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^3) (Subscript[x, j])+4 (-5+10 T+(T^2)) (Subscript[p, j]^4) (Subscript[x, i]^3) (Subscript[x, j])+24 (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^2)-24 (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^2)-24 (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j]^2)+6 (10+T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j]^2)-6 (6+T) (Subscript[p, j]^4) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j]^2)-4 (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^3)+4 (Subscript[p, j]^4) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^3))/24

V@(Subscript[r, 3,-1])[i_,j_]:=(-4 (T^3) (Subscript[p, i]) (Subscript[x, i])+4 (T^3) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i])-2 (T^2) (7+5 T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^2)+2 (T^2) (7+5 T) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2)-4 (T^2) (-6+5 T) (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^3)+4 T (-2-17 T+16 (T^2)) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^3)-4 T (-2-11 T+11 (T^2)) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^3)+3 (-1+T) (T^2) (Subscript[p, i]^3) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^4)-3 (-1+T) T (3+4 T) (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^4)+(-1+T) (1+22 T+13 (T^2)) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^4)-(-1+T) (1+13 T+4 (T^2)) (Subscript[p, j]^4) (Subscript[x, i]^4)+28 (T^3) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j])-28 (T^3) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j])-36 (T^3) (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])+12 (T^2) (2+9 T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])-24 (T^2) (1+3 T) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j])+4 (T^3) (Subscript[p, i]^3) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^3) (Subscript[x, j])-28 (T^2) (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^3) (Subscript[x, j])-4 T (-1-17 T+6 (T^2)) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^3) (Subscript[x, j])+4 T (-1-10 T+5 (T^2)) (Subscript[p, j]^4) (Subscript[x, i]^3) (Subscript[x, j])-24 (T^3) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^2)+24 (T^3) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^2)+24 (T^3) (Subscript[p, i]^2) (Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j]^2)-6 (T^2) (1+10 T) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j]^2)+6 (T^2) (1+6 T) (Subscript[p, j]^4) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[x, j]^2)+4 (T^3) (Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]^3) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^3)-4 (T^3) (Subscript[p, j]^4) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]^3))/(24(T^3))

{(SuperStar[p]),(SuperStar[x]),(SuperStar[(OverBar[p])]),(SuperStar[(OverBar[x])])}={π,ξ,(OverBar[π]),(OverBar[ξ])};  (SuperStar[((Subscript[z_, i__]))]):=(Subscript[((SuperStar[z])), i]);
(Subscript[Zip, {}])[ℰ_]:=ℰ;
(Subscript[Zip, {z_,zs___}])[ℰ_] := (Collect[ℰ//(Subscript[Zip, {zs}]),z] /. f_.(z^(d_.)):>(D[f,{(SuperStar[z]),d}]))/.(SuperStar[z])->0

gPair[fs_,w_]:=gPair[fs,w]=Collect[(Subscript[Zip, Join@@Table[{(Subscript[p, α]),(Subscript[(OverBar[p]), α]),(Subscript[x, α]),(Subscript[(OverBar[x]), α])},{α,w}]])[(Times@@(V/@fs))Exp[Sum[(Subscript[g, α,β])((Subscript[π, α])+(Subscript[(OverBar[π]), α]))((Subscript[ξ, β])+(Subscript[(OverBar[ξ]), β])),{α,w},{β,w}]-Sum[(Subscript[(OverBar[ξ]), α])(Subscript[π, α]),{α,w}]]],(Subscript[g, __]),Factor]

T2z[p_]:=Module[{q=Expand[p],n,c},
If[q===0,0,c=Coefficient[q,T,n=Exponent[q,T]];c (z^(2n))+T2z[q-c((((T^(1/2))-(T^(-1/2))))^(2n))]]];

(Subscript[Z, d_])[K_]:=Module[{Cs,φ,n,A,s,i,j,k,Δ,G,d1,Z1,Z2,Z3},
{Cs,φ}=Rot[K]; n=Length[Cs];A=IdentityMatrix[2n+1];
Cases[Cs,{s_,i_,j_}:>(A[[{i,j},{i+1,j+1}]]+=(({{-(T^s), (T^s)-1}, {0, -1}})))];
{Δ,G}=Factor@{(T^((-Total[φ]-Total[Cs[[All,1]]])/2))Det@A,Inverse@A};
Z1=Exp[Total[Cases[Cs,{s_,i_,j_}:>Sum[(ϵ^d1)(Subscript[r, d1,s])[i,j],{d1,d}]]]+ Sum[(ϵ^d1)(Subscript[γ, d1,φ[[k]]])[k], {k,2n},{d1,d}]/.(Subscript[γ, _,0])[_]->0];
Z2=Expand[F[{},{}]×Normal@Series[Z1,{ϵ,0,d}]]//.F[fs_,{es___}]×(((f:(Subscript[(r|γ), ps__])[is__]))^(p_.)):>F[Join[fs,Table[f,p]],DeleteDuplicates@{es,is}];
Z3=Expand[Z2/.F[fs_,es_]:>Expand[gPair[
Replace[fs,Thread[es->Range@Length@es],{2}],Length@es
]/.(Subscript[g, α_,β_]):>G[[es[[α]],es[[β]]]]] ];
Collect[{Δ,Z3/.(ϵ^(p_.))->p!(Δ^(2p))(ϵ^p)},ϵ,T2z] ];

(Subscript[Z, 3])[Knot[3,1]]//Timing

(Subscript[Z, 3])[Knot[3,1]]//Timing

Demos

nb2tex$PDFWidth = 8/0.75;

\end{multicols}
\def\nbpdfInput#1{\vskip 1mm\par\noindent\includegraphics[scale=0.75]{#1}}
\def\nbpdfOutput#1{\vskip 1mm\par\noindent\includegraphics[scale=0.75]{#1}}

GST48=EPD[(Subscript[X, 14,1]),(Subscript[(OverBar[X]), 2,29]),(Subscript[X, 3,40]),(Subscript[X, 43,4]),(Subscript[(OverBar[X]), 26,5]),(Subscript[X, 6,95]),(Subscript[X, 96,7]),(Subscript[X, 13,8]),(Subscript[(OverBar[X]), 9,28]),(Subscript[X, 10,41]),(Subscript[X, 42,11]),(Subscript[(OverBar[X]), 27,12]),(Subscript[X, 30,15]),(Subscript[(OverBar[X]), 16,61]),(Subscript[(OverBar[X]), 17,72]),(Subscript[(OverBar[X]), 18,83]),(Subscript[X, 19,34]),(Subscript[(OverBar[X]), 89,20]),(Subscript[(OverBar[X]), 21,92]),(Subscript[(OverBar[X]), 79,22]),(Subscript[(OverBar[X]), 68,23]),(Subscript[(OverBar[X]), 57,24]),(Subscript[(OverBar[X]), 25,56]),(Subscript[X, 62,31]),(Subscript[X, 73,32]),(Subscript[X, 84,33]),(Subscript[(OverBar[X]), 50,35]),(Subscript[X, 36,81]),(Subscript[X, 37,70]),(Subscript[X, 38,59]),(Subscript[(OverBar[X]), 39,54]),(Subscript[X, 44,55]),(Subscript[X, 58,45]),(Subscript[X, 69,46]),(Subscript[X, 80,47]),(Subscript[X, 48,91]),(Subscript[X, 90,49]),(Subscript[X, 51,82]),(Subscript[X, 52,71]),(Subscript[X, 53,60]),(Subscript[(OverBar[X]), 63,74]),(Subscript[(OverBar[X]), 64,85]),(Subscript[(OverBar[X]), 76,65]),(Subscript[(OverBar[X]), 87,66]),(Subscript[(OverBar[X]), 67,94]),(Subscript[(OverBar[X]), 75,86]),(Subscript[(OverBar[X]), 88,77]),(Subscript[(OverBar[X]), 78,93])];
(Subscript[Z, 2])[GST48]//Timing
(Subscript[Z, 2])[GST48]//Timing

(Subscript[Z, 2])[GST48] (* takes a few minutes *)

Table[Join[{(Subscript[K[[1]], K[[2]]])},(Subscript[Z, 3])[K]], {K,AllKnots[{3,6}]}]//Timing

Table[Join[{(Subscript[K[[1]], K[[2]]])},(Subscript[Z, 3])[K]], {K,AllKnots[{3,6}]}]//Timing

\def\nbpdfOutput#1{\vskip 1mm\par\noindent\includegraphics[width=\linewidth]{#1}}

TableForm[Table[Join[{(Subscript[K[[1]], K[[2]]])},(Subscript[Z, 3])[K]], {K,AllKnots[{3,6}]}], TableAlignments->Center] (* takes a few minutes *)

Finding the Duplicates for Z

tab=Table[K->Z[K], {K,AllKnots[{3,12}]}]

DeleteCases[Gather[tab, (Last[#1]==Last[#2])&], {_}]

Column[DeleteCases[Gather[tab, (Last[#1]==Last[#2])&], {_}]/.{(K_Knot->_):>K}]

PD /@ {Knot[10,106],Knot[12,NonAlternating,369]}

Finding the Duplicates for HOMFLYPT

tabH=Table[K->HOMFLYPT[K][a,z], {K,AllKnots[{3,12}]}]

DeleteCases[Gather[tabH, (Last[#1]==Last[#2])&], {_}]

Column[DeleteCases[Gather[tabH, (Last[#1]==Last[#2])&], {_}]/.{(K_Knot->_):>K}]