Solving the quartic $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$.

$\Delta_0=12 a e-3 b d+c^2$;     $\Delta_1=-72 a c e+27 a d^2+27 b^2 e-9 b c d+2 c^3$;     $\Delta_2=\frac{1}{27} \left(\Delta_1^2-4 \Delta_0^3\right)$;     $\delta_2=\sqrt{\Delta_2}$;

$u=\frac{8 a c-3 b^2}{8 a^2}$;     $v=\frac{8 a^2 d-4 a b c+b^3}{8 a^3}$;     $Q=\frac{1}{2} \left(3 \sqrt{3} \delta_2+\Delta_1\right)$;     $q=\sqrt[3]{Q}$;

$S=\frac{\frac{\Delta_0}{q}+q}{12 a}-\frac{u}{6}$;     $s=\sqrt{S}$;     $\Gamma =-\frac{v}{s}-4 S-2 u$;     $\gamma =\sqrt{\Gamma }$;     $r=-\frac{b}{4 a}+\frac{\gamma }{2}+s$.