Pensieve header:  Experiments in 2026: Alternative integrands for $\rho_1$.

Initialization

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Talks\\Bonn-2505"];
Once[<<"IType(SimplifiedFormatting).m"];

Minor utilities

CCF[ℰ_] := ExpandDenominator@ExpandNumerator@Together[ℰ]; 
CCF[ℰ_] := Factor[ℰ];
CF[ℰ_List]:=CF/@ℰ;
CF[ℰ_ϵSeries]:=CF/@Take[ℰ,$k+1];
CF[ℰ_] :=Module[{F},Expand@Collect[ℰ,ϵ|(Subscript[(p|x|π|ξ|g), __]),F]/.F->CCF];
CF[ℰ_𝔼]:=CF/@ℰ; 
CF[(Subscript[𝔼, sp___])[ℰs___]]:=CF/@(Subscript[𝔼, sp])[ℰs];

(Subscript[ℒ, i_])[K_]:=CF[(Subscript[ℒ, i])/@Features[K][[2]]]
vs[K_]:=Join@@Table[{(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i])},{i,Features[K][[1]]}]

{(SuperStar[p]),(SuperStar[x]),(SuperStar[π]),(SuperStar[ξ])}={π,ξ,p,x}; 
(SuperStar[(vs_List)]):=(v|->(SuperStar[v]))/@vs;
(SuperStar[((Subscript[u_, νi__]))]):=(Subscript[((SuperStar[u])), νi]);

HL[ℰ_] := Style[ℰ, Background -> If[TrueQ@ℰ,,]];

g2px and px2g

Modified from pensieve://Talks/Geneva-2408/DataConversions.nb

g2px[ℰ_]:=CF@Module[{λ},Expand[ℰ/.{(Subscript[g, i_,j_]):>λ (Subscript[p, i])(Subscript[x, j])}]/.{(λ^(k_.)):>1/k!}]
gν2px[ℰ_]:=CF@Module[{λ},Expand[ℰ/.{(Subscript[g, ν_,i_,j_]):>(Subscript[λ, ν]) (Subscript[p, ν,i])(Subscript[x, ν,j])}]/.{(Subscript[λ, _]^(k_.)):>1/k!}]

(Subscript[Zip, {}])[ℰ_]:=ℰ;
(Subscript[Zip, {ζ_,ζs___}])[ℰ_] := (Collect[ℰ//(Subscript[Zip, {ζs}]),ζ] /. f_.(ζ^(d_.)):>(D[f,{(SuperStar[ζ]),d}]))/.(SuperStar[ζ])->0

px2g[ℰ_]:=CF@Module[{ps,xs,Q,α,β},
ps=Union[Cases[ℰ,(Subscript[p, _]),∞]]; xs=Union[Cases[ℰ,(Subscript[x, _]),∞]];
Q=Sum[(SuperStar[p0]) (SuperStar[x0]) (Subscript[g, p0[[2]],x0[[2]]]),{p0,ps},{x0,xs}];
Expand[(Subscript[Zip, ps⋃xs])[ℰ (E^Q)]]
]
pxν2g[ℰ_]:=CF@Module[{ps,xs,Q,α,β},
ps=Union[Cases[ℰ,(Subscript[p, __]),∞]]; xs=Union[Cases[ℰ,(Subscript[x, __]),∞]];
Q=Sum[(SuperStar[p0]) (SuperStar[x0]) (Subscript[g, p0[[2]],x0[[2]],p0[[3]],x0[[3]]]),{p0,ps},{x0,xs}];
Expand[(Subscript[Zip, ps⋃xs])[ℰ (E^Q)]/.(Subscript[g, α_,β_,i_,j_]):>If[α===β,(Subscript[g, α,i,j]),0]]
]

gRules

From pensieve://Talks/MonteVerita-2604/Theta.nb

(Subscript[gR, s_,i_,j_]):={
(Subscript[g, j,β_]):>(Subscript[g, (SuperPlus[j]),β])+(Subscript[δ, j,β]),(Subscript[g, i,β_]):>(T^s)(Subscript[g, (SuperPlus[i]),β])+(1-(T^s))(Subscript[g, (SuperPlus[j]),β])+(Subscript[δ, i,β]),
(Subscript[g, α_,(SuperPlus[i])]):>(T^s)(Subscript[g, α,i])+(Subscript[δ, α,(SuperPlus[i])]),(Subscript[g, α_,(SuperPlus[j])]):>(Subscript[g, α,j])+(1-(T^s))(Subscript[g, α,i])+(Subscript[δ, α,(SuperPlus[j])]),
(Subscript[g, ν_,j,β_]):>(Subscript[g, ν,(SuperPlus[j]),β])+(Subscript[δ, j,β]),(Subscript[g, ν_,i,β_]):>(Subscript[T, ν]^s)(Subscript[g, ν,(SuperPlus[i]),β])+(1-(Subscript[T, ν]^s))(Subscript[g, ν,(SuperPlus[j]),β])+(Subscript[δ, i,β]),
(Subscript[g, ν_,α_,(SuperPlus[i])]):>(Subscript[T, ν]^s)(Subscript[g, ν,α,i])+(Subscript[δ, α,(SuperPlus[i])]),(Subscript[g, ν_,α_,(SuperPlus[j])]):>(Subscript[g, ν,α,j])+(1-(Subscript[T, ν]^s))(Subscript[g, ν,α,i])+(Subscript[δ, α,(SuperPlus[j])])
}
(Subscript[gR, i_]):={(Subscript[g, i,β_]):>(Subscript[g, (SuperPlus[i]),β])+(Subscript[δ, i,β]),(Subscript[g, α_,(SuperPlus[i])]):>(Subscript[g, α,i])+(Subscript[δ, α,(SuperPlus[i])])}

Inverse gRules written locally:

(Subscript[igR, s_,i_,j_]):={
(Subscript[g, (SuperPlus[j]),β_]):>(Subscript[g, j,β])-(Subscript[δ, j,β]), (Subscript[g, (SuperPlus[i]),β_]):>(T^(-s))(Subscript[g, i,β])-((T^(-s))-1)(Subscript[g, (SuperPlus[j]),β])-(T^(-s))(Subscript[δ, i,β]),
(Subscript[g, α_,i]):>(T^(-s))((Subscript[g, α,(SuperPlus[i])])-(Subscript[δ, α,(SuperPlus[i])])),(Subscript[g, α_,j]):>(Subscript[g, α,(SuperPlus[j])])-(1-(T^s))(Subscript[g, α,i])-(Subscript[δ, α,(SuperPlus[j])]),
(Subscript[g, ν_,(SuperPlus[j]),β_]):>(Subscript[g, ν,j,β])-(Subscript[δ, j,β]), (Subscript[g, ν_,(SuperPlus[i]),β_]):>(Subscript[T, ν]^(-s))(Subscript[g, ν,i,β])-((Subscript[T, ν]^(-s))-1)(Subscript[g, ν,(SuperPlus[j]),β])-(Subscript[T, ν]^(-s))(Subscript[δ, i,β]),
(Subscript[g, ν_,α_,i]):>(Subscript[T, ν]^(-s))((Subscript[g, ν,α,(SuperPlus[i])])-(Subscript[δ, α,(SuperPlus[i])])),(Subscript[g, ν_,α_,j]):>(Subscript[g, ν,α,(SuperPlus[j])])-(1-(Subscript[T, ν]^s))(Subscript[g, ν,α,i])-(Subscript[δ, α,(SuperPlus[j])])
}

The Base Lagrangian

From pensieve://Talks/Bonn-2505.

(Subscript[ℒ, 1])[(Subscript[X, i_,j_])[s_]]:=(T^(s/2))𝔼[
(Subscript[x, i])((Subscript[p, i+1])-(Subscript[p, i]))+(Subscript[x, j])((Subscript[p, j+1])-(Subscript[p, j]))+((T^s)-1)(Subscript[x, i])((Subscript[p, i+1])-(Subscript[p, j+1]))+(ϵ s/2)×((Subscript[x, i])((Subscript[p, i])-(Subscript[p, j]))(((T^s)-1)(Subscript[x, i])(Subscript[p, j])+2(1-(Subscript[x, j])(Subscript[p, j])))-1)]
(Subscript[ℒ, 1])[(Subscript[C, i_])[φ_]]:=(T^(φ/2))𝔼[(Subscript[x, i])((Subscript[p, i+1])-(Subscript[p, i]))+ϵ φ((1/2)-(Subscript[x, i])(Subscript[p, i]))]
$ℒ=(Subscript[ℒ, 1]);

The Trefoil

K=Mirror@Knot[3,1]; Features[K]

{vs[K],$ℒ[K]}

$π=Normal[#+((O[ϵ])^2)]&;∫$ℒ[K]\[DifferentialD] vs[K]

lhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]$ℒ/@((Subscript[X, i+2,i])[1](Subscript[C, i+1])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])}
rhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]$ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, i+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])};
lhs==rhs //HL

lhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]$ℒ/@((Subscript[X, i,i+2])[1](Subscript[C, i+1])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])}
rhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]$ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, i+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])};
lhs==rhs//HL

Territory: (Subscript[(x|p), (SuperPlus[(i|j)])]), (Subscript[x, i|j]).

lhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]$ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, i+1,j+1])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1])}
rhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]$ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, j])[0](Subscript[C, j+1])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1])};
lhs==rhs//HL

lhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]$ℒ/@((Subscript[X, i+1,j])[1](Subscript[X, i,j+2])[-1](Subscript[C, j+1])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])}
rhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]$ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, j])[0](Subscript[C, j+1])[1](Subscript[C, j+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])};
lhs==rhs//HL

CF[$ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, i+1,k])[1](Subscript[X, j+1,k+1])[1])]

lhs=∫(𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+I (Subscript[π, k])(Subscript[p, k])]$ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, i+1,k])[1](Subscript[X, j+1,k+1])[1]))\[DifferentialD]{(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[p, k]),(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[x, k]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[p, k+1]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[x, k+1])}
rhs=∫(𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+I (Subscript[π, k])(Subscript[p, k])]$ℒ/@((Subscript[X, j,k])[1](Subscript[X, i,k+1])[1](Subscript[X, i+1,j+1])[1]))\[DifferentialD]{(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[p, k]),(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[x, k]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[p, k+1]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[x, k+1])};
lhs==rhs//HL

lhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]$ℒ/@((Subscript[X, i+1,j+1])[1](Subscript[C, i])[-1](Subscript[C, j])[-1](Subscript[C, i+2])[1](Subscript[C, j+2])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])}
rhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]$ℒ/@((Subscript[X, i+1,j+1])[1](Subscript[C, i])[0](Subscript[C, j])[0](Subscript[C, i+2])[0](Subscript[C, j+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])};
lhs==rhs//HL

The pPush Lagrangian

(Subscript[pPush, loc__])[ℰ_]:=g2px[px2g[ℰ]/.(Subscript[gR, loc])/.{(Subscript[δ, α_,α_])->1,(Subscript[δ, i,j])->0,(Subscript[δ, j,i])->0}/.(SuperPlus[α_]):>α+1];

{(Subscript[pPush, s,i,j])[(Subscript[x, i])(Subscript[p, i])], (Subscript[pPush, i])[(Subscript[x, i])(Subscript[p, i])]}

(Subscript[ℒ, pPush])[(Subscript[X, i_,j_])[s_]]:=(T^(s/2))CF@𝔼[Plus[
(Subscript[x, i])((Subscript[p, i+1])-(Subscript[p, i]))+(Subscript[x, j])((Subscript[p, j+1])-(Subscript[p, j]))+((T^s)-1)(Subscript[x, i])((Subscript[p, i+1])-(Subscript[p, j+1])),
(Subscript[pPush, s,i,j])[(ϵ s/2)×((Subscript[x, i])((Subscript[p, i])-(Subscript[p, j]))(((T^s)-1)(Subscript[x, i])(Subscript[p, j])+2(1-(Subscript[x, j])(Subscript[p, j])))-1)]
]]
(Subscript[ℒ, pPush])[(Subscript[C, i_])[φ_]]:=(T^(φ/2))𝔼[(Subscript[x, i])((Subscript[p, i+1])-(Subscript[p, i]))+(Subscript[pPush, i])[ϵ φ((1/2)-(Subscript[x, i])(Subscript[p, i]))]]
$ℒ=(Subscript[ℒ, pPush]);

$ℒ[(Subscript[X, i,j])[1]]
$ℒ[(Subscript[C, i])[1]]

The Trefoil

K=Mirror@Knot[3,1]; {vs[K],$ℒ[K]}

$π=Normal[#+((O[ϵ])^2)]&;∫$ℒ[K]\[DifferentialD] vs[K]

lhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]$ℒ/@((Subscript[X, i+2,i])[1](Subscript[C, i+1])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])}
rhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]$ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, i+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])};
lhs==rhs //HL

lhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]$ℒ/@((Subscript[X, i,i+2])[1](Subscript[C, i+1])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])}
rhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])]$ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, i+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2])};
lhs==rhs//HL

Territory: (Subscript[(x|p), (SuperPlus[(i|j)])]), (Subscript[x, i|j]).

lhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]$ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, i+1,j+1])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1])}
rhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]$ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, j])[0](Subscript[C, j+1])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1])};
lhs==rhs//HL

lhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]$ℒ/@((Subscript[X, i+1,j])[1](Subscript[X, i,j+2])[-1](Subscript[C, j+1])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])}
rhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]$ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, j])[0](Subscript[C, j+1])[1](Subscript[C, j+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])};
lhs==rhs//HL

$ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, i+1,k])[1](Subscript[X, j+1,k+1])[1])

lhs=∫(𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+I (Subscript[π, k])(Subscript[p, k])]$ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, i+1,k])[1](Subscript[X, j+1,k+1])[1]))\[DifferentialD]{(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[p, k]),(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[x, k]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[p, k+1]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[x, k+1])}
rhs=∫(𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+I (Subscript[π, k])(Subscript[p, k])]$ℒ/@((Subscript[X, j,k])[1](Subscript[X, i,k+1])[1](Subscript[X, i+1,j+1])[1]))\[DifferentialD]{(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[p, k]),(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[x, k]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[p, k+1]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[x, k+1])};
lhs==rhs//HL

lhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]$ℒ/@((Subscript[X, i+1,j+1])[1](Subscript[C, i])[-1](Subscript[C, j])[-1](Subscript[C, i+2])[1](Subscript[C, j+2])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])}
rhs=∫𝔼[I (Subscript[π, i])(Subscript[p, i])+I (Subscript[π, j])(Subscript[p, j])]$ℒ/@((Subscript[X, i+1,j+1])[1](Subscript[C, i])[0](Subscript[C, j])[0](Subscript[C, i+2])[0](Subscript[C, j+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i+1]),(Subscript[x, j+1]),(Subscript[p, i+1]),(Subscript[p, j+1]),(Subscript[x, i+2]),(Subscript[p, i+2]),(Subscript[x, j+2]),(Subscript[p, j+2])};
lhs==rhs//HL