Pensieve header:  The rank 2 mod $\epsilon^2$ invariant using integration techniques; continues UC4A2.nb and Theta.nb at pensieve://Projects/HigherRank/.

Initialization

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Talks\\Beijing-2407"];
Once[<<IType.m];

(Subscript[T, 3])=(Subscript[T, 1])(Subscript[T, 2]);  (SuperPlus[i_]):=i+1;
$π=(CF@Normal[#+((O[ϵ])^2)]/. {(Subscript[π, is__]):>(B^(-1))(Subscript[π, is]),(Subscript[x, is__]):>(B^(-1))(Subscript[x, is]),(Subscript[p, is__]):>B (Subscript[p, is])}/.ϵ (B^(b_))/;b<0->0/.B->1)&;

The Lagrangian

\needspace{30mm}
{\bf\red The Lagrangian.}

nb2tex$PDFWidth *= 1.25;

ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[1]]:=(Subscript[T, 3])𝔼[Plus[
(∑_(ν=1)^3)((Subscript[x, ν,i])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, ν,i]))+(Subscript[x, ν,j])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[j])])-(Subscript[p, ν,j]))+((Subscript[T, ν])-1)(Subscript[x, ν,i])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, ν,(SuperPlus[j])]))),
(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 2,i])((Subscript[T, 1])(Subscript[x, 1,i])-(Subscript[x, 1,j])),
ϵ((Subscript[T, 3])-1)(Subscript[p, 1,j])(Subscript[x, 3,i])((Subscript[p, 2,j])-(Subscript[p, 2,i])),
ϵ(1/2-(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 3,i])-(Subscript[T, 3])(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 2,i])+(Subscript[p, 2,j])(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 2,j])(Subscript[x, 3,i])-(Subscript[T, 2])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 2,i])(Subscript[x, 3,j])+((Subscript[T, 3])-1)(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 3,i])((Subscript[T, 1])(Subscript[p, 1,j])(Subscript[x, 1,i])+(Subscript[T, 2])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 2,i]))+((Subscript[p, 1,j])(Subscript[x, 1,j])((Subscript[p, 2,i])(Subscript[x, 2,i])-(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 3,i]))+(Subscript[T, 1])(Subscript[p, 1,i])(Subscript[x, 1,i])((Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 3,j])-(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 2,j]))+((Subscript[T, 3])-1)(Subscript[p, 1,j])(Subscript[x, 1,j])((Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 2,i])-(Subscript[T, 1])(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 3,i])))/((Subscript[T, 1])-1)) ]]

ℒ[(Subscript[X, i_,j_])[-1]]:=(Subscript[T, 3]^(-1))𝔼[Plus[
(∑_(ν=1)^3)((Subscript[x, ν,i])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, ν,i]))+(Subscript[x, ν,j])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[j])])-(Subscript[p, ν,j]))+((Subscript[T, ν]^(-1))-1)(Subscript[x, ν,i])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, ν,(SuperPlus[j])]))),
(Subscript[T, 2]^(-1))((Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 1,j])(Subscript[x, 2,i])-(Subscript[T, 1]^(-1))(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 2,i])),
ϵ (Subscript[T, 1]^(-1))(((Subscript[T, 3])-1)(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,i])(Subscript[x, 3,i])-((Subscript[T, 3])-1)(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 3,i])),
ϵ(-1/2+(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 3,i])-(Subscript[T, 1]^(-1))(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,i])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 2,i])-(1-(Subscript[T, 1]^(-1))-(Subscript[T, 2]^(-1)))(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 2,i])-(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 1,j])(Subscript[x, 2,i])-(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 2,j])+(Subscript[T, 1]^(-1))(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 3,i])-(1-(Subscript[T, 2]^(-1)))(Subscript[p, 2,j])(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 2,i])(Subscript[x, 3,i])-(Subscript[p, 2,j])(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 2,j])(Subscript[x, 3,i])+(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 3,j])+(Subscript[p, 2,j])(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 2,i])(Subscript[x, 3,j])+(1-(Subscript[T, 3]^(-1)))(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 3,i])((Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 2,j])+(Subscript[p, 1,j])(Subscript[x, 1,i])-(Subscript[p, 2,i])(Subscript[x, 2,i])+(2-(Subscript[T, 2]^(-1)))(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 2,i]))+((Subscript[T, 1])(1-(Subscript[T, 2]^(-1)))(Subscript[p, 1,i])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 2,i])-(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 2,i])(Subscript[x, 1,j])(Subscript[x, 2,i])+(Subscript[T, 1])(Subscript[p, 1,i])(Subscript[p, 2,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 2,j])-(Subscript[T, 2]^(-1))((Subscript[T, 3])-1)(Subscript[p, 1,i])(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 3,i])+(Subscript[p, 1,j])(Subscript[p, 3,i])(Subscript[x, 1,j])(Subscript[x, 3,i])-(Subscript[T, 1])(Subscript[p, 1,i])(Subscript[p, 3,j])(Subscript[x, 1,i])(Subscript[x, 3,j]))/((Subscript[T, 1])-1)) ]]

ℒ[(Subscript[C, i_])[φ_]]:=(Subscript[T, 3]^φ)𝔼[(∑_(ν=1)^3)(Subscript[x, ν,i])((Subscript[p, ν,(SuperPlus[i])])-(Subscript[p, ν,i]))+ϵ φ((Subscript[p, 3,i]) (Subscript[x, 3,i])-1/2)]

(Subscript[vs, i_]):=Sequence[(Subscript[p, 1,i]),(Subscript[p, 2,i]),(Subscript[p, 3,i]),(Subscript[x, 1,i]),(Subscript[x, 2,i]),(Subscript[x, 3,i])];
ℱ[is__]:=𝔼[Sum[(Subscript[π, ν,i])(Subscript[p, ν,i]),{i,{is}}, {ν,3}]];
ℒ[K_]:=CF[ℒ/@Features[K][[2]]];
vs[K_] := Union@@Table[{(Subscript[vs, i])},{i,Features[K][[1]]}]

nb2tex$PDFWidth /= 1.25;

Reidemeister 3

{\bf\red Reidemeister 3.}

Short[lhs=∫ℱ[i,j,k]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),k])[1](Subscript[X, (SuperPlus[j]),(SuperPlus[k])])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, k]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[k])])}]

rhs=∫ℱ[i,j,k]ℒ/@((Subscript[X, j,k])[1](Subscript[X, i,(SuperPlus[k])])[1](Subscript[X, (SuperPlus[i]),(SuperPlus[j])])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, k]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[k])])};lhs==rhs

The Trefoil

\needspace{25mm}
{\bf\red The Trefoil.}

K=Knot[3,1]; ∫ℒ[K]\[DifferentialD] vs[K]

-((I (Subscript[T, 1]^2) (Subscript[T, 2]^2) 𝔼[-((ϵ (1-(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 1]^2)-(Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 1]^3) (Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 2]^2)+(Subscript[T, 1]^4) (Subscript[T, 2]^2)-(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2]^3)-(Subscript[T, 1]^4) (Subscript[T, 2]^3)+(Subscript[T, 1]^2) (Subscript[T, 2]^4)-(Subscript[T, 1]^3) (Subscript[T, 2]^4)+(Subscript[T, 1]^4) (Subscript[T, 2]^4)))/((1-(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 1]^2)) (1-(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 2]^2)) (1-(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 1]^2) (Subscript[T, 2]^2))))])/((1-(Subscript[T, 1])+(Subscript[T, 1]^2)) (1-(Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 2]^2)) (1-(Subscript[T, 1]) (Subscript[T, 2])+(Subscript[T, 1]^2) (Subscript[T, 2]^2))))

Invariance Under Reidemeister 2b

Territory: (Subscript[(x|p), (SuperPlus[(i|j)])]), (Subscript[x, i|j]).

lhs=∫ℱ[i,j]ℒ/@((Subscript[X, i,j])[1](Subscript[X, i+1,j+1])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])])}
rhs=∫ℱ[i,j]ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, j])[0](Subscript[C, j+1])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])])};
lhs==rhs

Invariance Under R2c

lhs=∫ℱ[i,j]ℒ/@((Subscript[X, i+1,j])[1](Subscript[X, i,j+2])[-1](Subscript[C, j+1])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, j+2])}
rhs=∫ℱ[i,j]ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, j])[0](Subscript[C, j+1])[1](Subscript[C, j+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, j+2])};
lhs==rhs

Invariance Under R1l

lhs=∫ℱ[i]ℒ/@((Subscript[X, i+2,i])[1](Subscript[C, i+1])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, i+2])}
rhs=∫ℱ[i]ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, i+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, i+2])};
lhs==rhs

Invariance Under R1r

lhs=∫ℱ[i]ℒ/@((Subscript[X, i,i+2])[1](Subscript[C, i+1])[-1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, i+2])}
rhs=∫ℱ[i]ℒ/@((Subscript[C, i])[0](Subscript[C, i+1])[0](Subscript[C, i+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, i+2])};
lhs==rhs

Invariance Under Sw

lhs=∫ℱ[i,j]ℒ/@((Subscript[X, i+1,j+1])[1](Subscript[C, i])[-1](Subscript[C, j])[-1](Subscript[C, i+2])[1](Subscript[C, j+2])[1])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, i+2]),(Subscript[vs, j+2])}
rhs=∫ℱ[i,j]ℒ/@((Subscript[X, i+1,j+1])[1](Subscript[C, i])[0](Subscript[C, j])[0](Subscript[C, i+2])[0](Subscript[C, j+2])[0])\[DifferentialD]{(Subscript[vs, i]),(Subscript[vs, j]),(Subscript[vs, (SuperPlus[i])]),(Subscript[vs, (SuperPlus[j])]),(Subscript[vs, i+2]),(Subscript[vs, j+2])};
lhs==rhs