Pensieve header: Figuring out triality(s).

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\WKO4"];
<< WKO4.m

SeedRandom[0];
(Subscript[ζ, e])=Es[⟨x->RandomLieSeries[{x,y}], y->RandomLieSeries[{x,y}]⟩, RandomCWSeries[{x,y}]];
(Subscript[ζ, f])=Es[⟨x->RandomLieSeries[{x,y}], y->RandomLieSeries[{x,y}]⟩, RandomCWSeries[{x,y}]]

(Subscript[ρρ, 2])[V_] := Rs[x,y]**(V//(((-1))^deg));
((Subscript[ζ, e])≡((Subscript[ζ, e])//(Subscript[ρρ, 2])//(Subscript[ρρ, 2])))@{8}

(Subscript[ρ, 3])[ζ_Es] := ζ // dS[y] // dΔ[y,y,z] // dm[x,z,x] // dσ[{x,y}->{y,x}];
{(Subscript[V, 0])@{2}, ((Subscript[V, 0]) // (Subscript[ρ, 3]))@{2}, ((Subscript[V, 0]) // (Subscript[ρ, 3])// (Subscript[ρ, 3])// (Subscript[ρ, 3]))@{2}}

((Subscript[V, 0])≡((Subscript[V, 0]) // (Subscript[ρ, 3])// (Subscript[ρ, 3])// (Subscript[ρ, 3])))@{6}

((Subscript[ζ, e])≡((Subscript[ζ, e]) // (Subscript[ρ, 3])// (Subscript[ρ, 3])// (Subscript[ρ, 3])))@{6}

(Subscript[ρ, 3'])[ζ_Es] := ζ // dS[y] // dΔ[y,y,z] // dm[z,x,x] // dσ[{x,y}->{y,x}];
((Subscript[ζ, e])≡((Subscript[ζ, e]) // (Subscript[ρ, 3'])// (Subscript[ρ, 3'])// (Subscript[ρ, 3'])))@{6}

(Subscript[ρ, 3])[(Subscript[ζ, e])]≡(Subscript[ρ, 3'])[(Subscript[ζ, e])]

(((Subscript[ρ, 3])[(Subscript[ζ, e])]//dS)≡(Subscript[ρ, 3'])[(Subscript[ζ, e])//dS])@{6}

(Subscript[ρ, 3])[(Subscript[ρ, 3])[(Subscript[ζ, e])]]≡(Subscript[ρ, 3'])[(Subscript[ζ, e])]

(Subscript[ζ, e])

(Subscript[ζ, e])//(Subscript[ρ, 3'])//(Subscript[ρ, 3])//(Subscript[ρ, 3])

(Subscript[ζ, e])//dA

θ[x_,s_] := Module[{y}, Θs[x,y,-s] // dS[y] // dm[x,y,x]];
θ[1,1]@{6}

(Subscript[V, 1])=(Subscript[V, 0])**Θs[x,y,-1/4]**Es[⟨x->LS@0, y->LS@0⟩, CWS[CW[x]/12-CW[y]/12]-(2Cap[[2]]//tΔ[x,x,y])];
((Subscript[V, 1])≡(Subscript[ρ, 3])[(Subscript[V, 1])])@{6}

((Subscript[V, 1])≡(Subscript[ρ, 3])[(Subscript[V, 1])])@{7}

w1=Es[⟨x->LS@0, y->LS@0⟩, CWS[CW[x]/12-CW[y]/12]-(2Cap[[2]]//tΔ[x,x,y])]

(Subscript[V, 2])=(Subscript[V, 0])**Θs[x,y,-1/4]**w1;
((Subscript[V, 2])≡(Subscript[ρ, 3])[(Subscript[V, 2])])@{6}

((Subscript[V, 0])**Θs[x,y,-1/4]**w1 ≡ (Subscript[ρ, 3])[(Subscript[V, 0])**Θs[x,y,-1/4]**w1])@{6}

Q=(Subscript[V, 0])**(((Subscript[ρ, 3])[(Subscript[V, 0])])^(-1))

Q@{6}

((Subscript[V, 0]) ≡ Q**(Subscript[ρ, 3])[(Subscript[V, 0])])@{6}

((Subscript[V, 0]) ≡ (Subscript[ρ, 3])[(Subscript[V, 0])**Θs[x,y,-1/4]**w1]**(w1^(-1))**Θs[x,y,1/4])@{6}

(Subscript[ρρ, 3])[V_] := (Subscript[ρ, 3])[V**Θs[x,y,-1/4]**w1]**(w1^(-1))**Θs[x,y,1/4]

((Subscript[ζ, e]) ≡ ((Subscript[ζ, e])//(Subscript[ρρ, 3])//(Subscript[ρρ, 3])//(Subscript[ρρ, 3])))@{6}

((Subscript[ρ, 3])[(Subscript[ζ, e])]**(Subscript[ρ, 3])[(Subscript[ζ, f])]) ≡ (Subscript[ρ, 3])[(Subscript[ζ, e])**(Subscript[ζ, f])]