Pensieve header: Triality attempt 2, continuing TrialityComputations.nb at pensieve://2013-11/DoubleTree/ and MisguidedTriality.nb, here.

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\WKO4"];
<< WKO4.m

(Subscript[ρ, 3])[ζ_Es] := ζ // dS[y] // dΔ[y,y,z] // dm[x,z,x] // dσ[{x,y}->{y,x}];
(Subscript[V, 0]) // (Subscript[ρ, 3])

(Subscript[V, 0])@{5}

(Subscript[V, 0]) // (Subscript[ρ, 3])// (Subscript[ρ, 3])// (Subscript[ρ, 3])

θ[x_,s_] := Module[{y}, Θs[x,y,-s] // dS[y] // dm[x,y,x]];
θ[1,1]@{6}

(Subscript[V, pp])=((Subscript[V, 0])**Θs[x,y,-1/2])θ[z,-1/4] // dm[y,z,y] // (Subscript[ρ, 3]) // (Subscript[ρ, 3])

((Subscript[V, 0])//dA[x,y])**(
((((Subscript[V, 0])**Θs[x,y,-1/2]) // (Subscript[ρ, 3]) // (Subscript[ρ, 3]))(Es[⟨z->LS[-LW@z/2]⟩, CWS[-CW@x/2]]) // dm[x,z,x])**(Cap**Cap //dΔ[x,x,y])**Es[⟨x->LS@0, y->LS@0⟩, (-2Cap[[2]]) // tσ[x,y]]
)

((Subscript[V, 0])≡(
((((Subscript[V, 0])**Θs[x,y,-1/2]) // (Subscript[ρ, 3]) // (Subscript[ρ, 3]))(Es[⟨z->LS[-LW@z/2]⟩, CWS[-CW@x/2]]) // dm[x,z,x])**(Cap**Cap //dΔ[x,x,y])**Es[⟨x->LS@0, y->LS@0⟩, (-2Cap[[2]]) // tσ[x,y]]
))@{8}

(Subscript[V, 1])=(Subscript[V, 0])**Θs[x,y,-1/4];
{(Subscript[V, 1]),(Subscript[ρ, 3])[(Subscript[V, 1])],(Subscript[V, 1])≡(Subscript[ρ, 3])[(Subscript[V, 1])]}

(2Cap[[2]])@{6}

W0s[y]=s;
W0=CWS[{y},W0s];
W1=CWS[{z},W1s];
W2=CWS[{x},W2s];
(Subscript[V, 2])=(Subscript[V, 1])**Es[⟨x->LS@0, y->LS@0⟩, W0-(W1//tΔ[z,x,y])+W2];
msgs=SeriesSolve[{W0,W1,W2}, (Subscript[V, 2])≡(Subscript[ρ, 3])[(Subscript[V, 2])]];

(W1//tΔ[z,x,y])

{W0,W1@{6},W2}

(Subscript[V, 3])=(Subscript[V, 0])**Θs[x,y,-1/4]**Es[⟨x->LS@0, y->LS@0⟩, CWS[CW[x]/12-CW[y]/12]-(2Cap[[2]]//tΔ[x,x,y])];
((Subscript[V, 3])≡(Subscript[ρ, 3])[(Subscript[V, 3])])@{8}

{s,(1/12) (1+12 s),(1/6) (1+6 s)} /. s-> -1/12

Solve[s==(1/6) (1+6 s),s]

Θs[x,y,-1/4]**Es[⟨x->LS@0, y->LS@0⟩, CWS[CW[x]/12-CW[y]/12]-(2Cap[[2]]//tΔ[x,x,y])]

Θs[x,y,-1/4] // (Subscript[ρ, 3])