$k=2;
SetAlgebra[(Subscript[gl, 3,ϵ])];
$PBWRule
MatrixForm@Table[{b1,b2}->B[b1,b2],{b1,$Basis},{b2,$Basis}]
MatrixForm@Table[{b1,b2}->(DefRep[b1].DefRep[b2]-DefRep[b2].DefRep[b1]==DefRep[B[b1,b2]]),{b1,$Basis},{b2,$Basis}]

SBasis=SortBy[$Basis,If[#[[1]]===x,{0,#[[3]]-#[[2]]}, {1,#[[2]]-#[[3]]}]&];
sol[-1]=0$Basis;
Do[
Block[{$k=k},
s0=Thread[$Basis->sol[k-1]];
lhs=λTangent[
Join[λ $Basis($Basis/.{x->ξ1,y->η1}),λ $Basis($Basis/.{x->ξ2,y->η2})]
];
rhs=λTangent[
$Basis($Basis/.{(Subscript[x, αβ__]):>((Subscript[x, αβ])/.s0)+(ϵ^k)(Subscript[f, αβ])[λ], (Subscript[y, αβ__]):>((Subscript[y, αβ])/.s0)+(ϵ^k)(Subscript[g, αβ])[λ]})
];
eqns=Transpose@{
(Coefficient[CF[lhs-rhs],#]==0)&/@SBasis,
SBasis/.{(Subscript[x, αβ__]):>(Subscript[f, αβ])[0]==0,(Subscript[y, αβ__]):>(Subscript[g, αβ])[0]==0}
};
unknowns=SBasis/.{(Subscript[x, αβ__])->(Subscript[f, αβ])[λ],(Subscript[y, αβ__])->(Subscript[g, αβ])[λ]};
s=TriangularDSolve[eqns,unknowns,λ];
sol[k]=CF[sol[k-1]+(ϵ^k)($Basis/.{(Subscript[x, αβ__])->(Subscript[f, αβ])[λ],(Subscript[y, αβ__])->(Subscript[g, αβ])[λ]}/.s)]
],
{k,0,$k}
];
cm[i_,j_->k_]:=(Subscript[Λ2𝔼, {i,j}->{k}])[sol[$k].$Basis/.{(Subscript[x, αβ__]):>(Subscript[x, αβ])[k], (Subscript[y, αβ__]):>(Subscript[y, αβ])[k],(Subscript[ξ1, αβ__]):>(Subscript[ξ, αβ])[i],(Subscript[η1, αβ__]):>(Subscript[η, αβ])[i],(Subscript[ξ2, αβ__]):>(Subscript[ξ, αβ])[j],(Subscript[η2, αβ__]):>(Subscript[η, αβ])[j],λ->1}];
cm[i,j->k]

(cm[1,2->2]//cm[2,3->1])≡(cm[2,3->2]//cm[1,2->1])