Pensieve header: Signatures using the Meyer cocycle, following A. Conway’s arXiv://1903.04477.

From A. Conway’s paper:

γ2β={(Subscript[γ, i_]):>(Subscript[β, i+1])-(Subscript[β, i])}; β2γ={(Subscript[β, j_]):>Sum[(Subscript[γ, i]),{i,j-1}]};
(Subscript[σ, i_])[x_]/;i>0:=Expand[x/.γ2β/.{(Subscript[β, i])->(Subscript[β, i+1]),(Subscript[β, i+1])->t (Subscript[β, i])+(1-t)(Subscript[β, i+1])}/.β2γ];
(Subscript[σ, i_])[x_]/;i<0:=Expand[x/.γ2β/.{(Subscript[β, -i])->(t^(-1))(Subscript[β, -i+1])+(1-(t^(-1)))(Subscript[β, -i]),(Subscript[β, -i+1])->(Subscript[β, -i])}/.β2γ];

Table[(Subscript[γ, i]),{i,7}]//(Subscript[σ, 3])//(Subscript[σ, 5])
Table[(Subscript[γ, i]),{i,7}]//(Subscript[σ, 5])//(Subscript[σ, 3])
Table[(Subscript[γ, i]),{i,6}]//(Subscript[σ, 3])//(Subscript[σ, 4])//(Subscript[σ, 3])
Table[(Subscript[γ, i]),{i,6}]//(Subscript[σ, 4])//(Subscript[σ, 3])//(Subscript[σ, 4])
Table[(Subscript[γ, i]),{i,5}]//(Subscript[σ, 3])//(Subscript[σ, -3])

ξ[x_,y_]:=Expand[Expand[(x/.{t->(t^(-1))})(y/.{(Subscript[γ, i_]):>(Subscript[(OverBar[γ]), i])})]/.(Subscript[γ, i_])(Subscript[(OverBar[γ]), j_]):>({{\[Piecewise], ({{1-(t^(-1)), j==i-1}, {(t^(-1))-t, j==i}, {t-1, j==i+1}, {0, True}})}})]

MatrixForm/@{Table[ξ[(Subscript[γ, i]),(Subscript[γ, j])],{i,9},{j,9}],Table[ξ[(Subscript[γ, i])//(Subscript[σ, 3]),(Subscript[γ, j])//(Subscript[σ, 3])],{i,9},{j,9}]}

Table[ξ[(Subscript[β, i])/.β2γ,(Subscript[β, j])/.β2γ],{i,7},{j,7}]//MatrixForm