Pensieve header: An FxF degenerate-Gaussian tangle formalism for tangles. Continues AlexanderSS.nb here and Signature.nb at pensieve://Talks/Budapest-2311.

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\Semi-Seifert"];
Once[<<KnotTheory`]

Integration

As in Talks/Beijing-2407

CF[ω_.ℰ_𝔼]:=CF[ω]CF/@ℰ;
CF[ℰ_List]:=CF/@ℰ;
CF[q_]:=Expand@Collect[q,ϵ|(Subscript[(p|x|π|ξ), _]),F]/.F->Factor;

𝔼/:𝔼[A_]𝔼[B_]:=𝔼[A+B];

$π=Identity;

Unprotect[Integrate]; 
∫ω_.𝔼[L_]\[DifferentialD](vs_List):=Module[{n,L0,Q,Δ,G,Z0,Z,λ,DZ,DDZ,FZ,a,b},
n=Length@vs; L0=L/.ϵ->0;
Q=Table[(-(∂_(vs[[a]],vs[[b]]))L0)/.Thread[vs->0]/.(Subscript[(p|x), __])->0,{a,n},{b,n}];
If[(Δ=Det[Q])==0,Return@"Degenerate Q!"];
Z=Z0=CF@$π[L+vs.Q.vs/2]; G=Inverse[Q];
FixedPoint[(DZ=Table[(∂_v)Z,{v,vs}];
DDZ=Table[(∂_u)DZ,{u,vs}];
FZ=Sum[G[[a,b]](DDZ[[a,b]]+DZ[[a]]DZ[[b]]),{a,n},{b,n}]/2;
Z=CF[Z0+(∫_0^λ)$π[FZ] \[DifferentialD]λ])&,Z];
PowerExpand@Factor[ω (Δ^(-1/2))]𝔼[CF[Z/.λ->1/.Thread[vs->0]]]];
Protect[Integrate];

∫𝔼[- μ (x^2)/2+I ξ x]\[DifferentialD]{x}

FofG=∫𝔼[- μ (((x-a))^2)/2+I ξ x]\[DifferentialD]{x}

∫FofG 𝔼[-I ξ x] \[DifferentialD]{ξ}

L=-(1/2){(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])}.(({{a, b}, {b, c}})).{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])}+{(Subscript[ξ, 1]),(Subscript[ξ, 2])}.{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])};
Z12=∫𝔼[L]\[DifferentialD]{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])}

{Z1=∫𝔼[L]\[DifferentialD]{(Subscript[x, 1])}, Z12==∫Z1 \[DifferentialD]{(Subscript[x, 2])}}

$π=Normal[#+((O[ϵ])^13)]&; ∫𝔼[-(ϕ^2)/2+ϵ (ϕ^3)/6]\[DifferentialD]{ϕ}

The Planar Algebra

SetAttributes[{B,σ}, Orderless];
CF[b_B]:=RotateLeft[#,First@Ordering[#]-1]&/@DeleteCases[b,{}]

CF[(Subscript[Σ, b_])[σ_,q_]]:=(Subscript[Σ, CF[b]])[σ,CF[q]];

SSA for Semi-Seifert Alexander.

SSA[c:X[i_,j_,k_,l_]]:=SSA@If[PositiveQ[c],(Subscript[X, -i,j,k,-l]),(Subscript[(OverBar[X]), -j,k,l,-i])];
SSA[(Subscript[(c:X|(OverBar[X])), i_,j_,k_,l_])]:=Module[{m},
m=If[c===X,(({{-1, -1, 2, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 1, -1, 0}, {1, 0, -1, 0}})),(({{1, -1, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {-2, 1, 1, 0}, {1, 0, -1, 0}}))];
CF@(Subscript[Σ, B[{i,j,k,l}]])[σ[i->j,l->k],𝔼[{(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[p, k]),(Subscript[p, l])}.(t m-m\[Transpose]/t).{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[x, k]),(Subscript[x, l])}]]]

SSA[X[1,2,3,4]]

SSA[(Subscript[X, 1,2,3,4])]/.t->1

Q=(Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 1])-2 (Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 1])+(Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 1])-(Subscript[p, 1]) (Subscript[x, 2])+(Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 2])+2 (Subscript[p, 1]) (Subscript[x, 3])-(Subscript[p, 2]) (Subscript[x, 3])-(Subscript[p, 4]) (Subscript[x, 3])-(Subscript[p, 1]) (Subscript[x, 4])+(Subscript[p, 3]) (Subscript[x, 4]);
{Coefficient[Q,(Subscript[x, 2])],Coefficient[Q,(Subscript[p, 2])],Coefficient[Q,(Subscript[x, 4])],Coefficient[Q,(Subscript[p, 4])]}

{∫𝔼[Q]\[DifferentialD]{(Subscript[p, 1]),(Subscript[x, 1])},∫𝔼[Q]\[DifferentialD]{(Subscript[p, 2]),(Subscript[x, 2])},∫𝔼[Q]\[DifferentialD]{(Subscript[x, 3])},∫𝔼[Q]\[DifferentialD]{(Subscript[x, 4])}}

SSA@(Subscript[P, i_,j_]):=CF@(Subscript[Σ, B[{i,j}]])[σ[i->j],𝔼[0]]

(Subscript[Σ, b1_])[σ1_,ℰ1_]⊕(Subscript[Σ, b2_])[σ2_,ℰ2_]^:=CF@(Subscript[Σ, Join[b1,b2]])[σ1⋃σ2,ℰ1 ℰ2];

SSA[X[1,2,3,4]]⊕SSA[X[5,6,7,8]]

(Subscript[GT, i_,j_])@(Subscript[Σ, B[{li___,i_,ri___},{lj___,j_,rj___},bs___]])[σ_,ℰ_]:=CF@(Subscript[Σ, B[{ri,li,j,rj,lj,i},bs]])[σ,ℰ/.{(Subscript[p, i|j])->(Subscript[p, i])+(Subscript[p, j]),(Subscript[x, i|j])->(Subscript[x, i])+(Subscript[x, j])}]

(SSA[X[1,2,3,4]]⊕SSA[X[5,6,7,8]])//(Subscript[GT, 2,7])

(Subscript[Cordon, i_])@(Subscript[Σ, B[{li___,i_,ri___},bs___]])[σ_,PQ[𝒞_,q_]]:=Module[{ϕ=(∂_(Subscript[γ, i]))𝒞,λ=(∂_((Subscript[(OverBar[γ]), i]),(Subscript[γ, i])))q,nσ=σ,n𝒞,nq,p},
{p}=FirstPosition[(#=!=0)&/@ϕ,True,{0}];
{n𝒞,nq}=Which[
p>0, {𝒞,q}/.(SuperPlus[((Subscript[γ, i])->-𝒞[[p]]/ϕ[[p]])])/.(SuperPlus[((Subscript[γ, i])->0)]),
λ=!=0,(nσ+=sign[λ];{𝒞,q/.(SuperPlus[((Subscript[γ, i])->-((∂_(Subscript[(OverBar[γ]), i]))q)/λ)])/.(SuperPlus[((Subscript[γ, i])->0)])}),
λ===0,{𝒞⋃{(∂_(Subscript[(OverBar[γ]), i]))q},q/.(SuperPlus[((Subscript[γ, i])->0)])}];
CF@(Subscript[Σ, B[Most@{ri,li},bs]])[nσ,PQ[n𝒞,nq]/.(SuperPlus[((Subscript[γ, Last@{ri,li}])->(Subscript[γ, First@{ri,li}]))])]  ]

(Subscript[c, i_,j_])@t:(Subscript[Σ, B[{li___,i_,ri___},{___,j_,___},___]])[__]:=t//(Subscript[GT, j,First@{ri,li}])//(Subscript[Cordon, j])

(Subscript[c, i_,j_])@t:(Subscript[Σ, B[{___,i_,j_,___},___]])[__]:=(Subscript[Cordon, j])@t
(Subscript[c, i_,j_])@t:(Subscript[Σ, B[{j_,___,i_},___]])[__]:=(Subscript[Cordon, j])@t
(Subscript[c, i_,j_])@t:(Subscript[Σ, B[{___,j_,i_,___},___]])[__]:=(Subscript[Cordon, i])@t
(Subscript[c, i_,j_])@t:(Subscript[Σ, B[{i_,___,j_},___]])[__]:=(Subscript[Cordon, i])@t

mc[ℰ_]:=ℰ//.
t:(Subscript[Σ, B[{___,i_,___},{___,j_,___},___]])[__]|(Subscript[Σ, B[{___,i_,j_,___},___]])[__]|(Subscript[Σ, B[{j_,___,i_},___]])[__]/;i+j==0:>(Subscript[c, i,j])@t