Pensieve header: Analyzing Reidemeister moves by hand.

Integration

As in Talks/Beijing-2407

CF[ω_.ℰ_𝔼]:=CF[ω]CF/@ℰ;
CF[ℰ_List]:=CF/@ℰ;
CF[q_]:=Expand@Collect[q,ϵ|(Subscript[(p|x|π|ξ), _])|(SubPlus[(p|x|π|ξ)])|(SubMinus[(p|x|π|ξ)]),F]/.F->Factor;

𝔼/:𝔼[A_]𝔼[B_]:=𝔼[A+B];

(ω1_.𝔼[L1_])≡(ω2_.𝔼[L2_]):=Simplify[(ω1==ω2)∧(L1==L2)]

$π=Identity;

Unprotect[Integrate]; 
∫ω_.𝔼[L_]\[DifferentialD](vs_List):=Module[{n,L0,Q,Δ,G,Z0,Z,λ,DZ,DDZ,FZ,a,b},
n=Length@vs; L0=L/.ϵ->0;
Q=Table[(-(∂_(vs[[a]],vs[[b]]))L0)/.Thread[vs->0]/.(Subscript[(p|x), __])->0,{a,n},{b,n}];
If[(Δ=Det[Q])==0,Return@"Degenerate Q!"];
Z=Z0=CF@$π[L+vs.Q.vs/2]; G=Inverse[Q];
FixedPoint[(DZ=Table[(∂_v)Z,{v,vs}];
DDZ=Table[(∂_u)DZ,{u,vs}];
FZ=Sum[G[[a,b]](DDZ[[a,b]]+DZ[[a]]DZ[[b]]),{a,n},{b,n}]/2;
Z=CF[Z0+(∫_0^λ)$π[FZ] \[DifferentialD]λ])&,Z];
PowerExpand@Factor[ω (Δ^(-1/2))]𝔼[CF[Z/.λ->1/.Thread[vs->0]]]];
Protect[Integrate];

∫𝔼[- μ (x^2)/2+I ξ x]\[DifferentialD]{x}

FofG=∫𝔼[- μ (((x-a))^2)/2+I ξ x]\[DifferentialD]{x}

∫FofG 𝔼[-I ξ x] \[DifferentialD]{ξ}

L=-(1/2){(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])}.(({{a, b}, {b, c}})).{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])}+{(Subscript[ξ, 1]),(Subscript[ξ, 2])}.{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])};
Z12=∫𝔼[L]\[DifferentialD]{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2])}

{Z1=∫𝔼[L]\[DifferentialD]{(Subscript[x, 1])}, Z12==∫Z1 \[DifferentialD]{(Subscript[x, 2])}}

$π=Normal[#+((O[ϵ])^13)]&; ∫𝔼[-(ϕ^2)/2+ϵ (ϕ^3)/6]\[DifferentialD]{ϕ}

The Quadratic

Matrices from SSAlexander4Tangles.nb

({{, (({{(Subscript[Q, i_,j_,k_,l_]):=(((-1+t) (1+t) (SubMinus[p]) (SubMinus[x]))/t)/.{(SubMinus[p])->(Subscript[p, i])-(Subscript[p, k]),(SubMinus[x])->(Subscript[x, i])-(Subscript[x, k])};}, {(Subscript[(OverBar[Q]), i_,j_,k_,l_]):=-(((-1+t) (1+t) (SubMinus[p]) (SubMinus[x]))/t)/.{(SubMinus[p])->(Subscript[p, i])-(Subscript[p, k]),(SubMinus[x])->(Subscript[x, i])-(Subscript[x, k])};}}))}});

CF[(Subscript[Q, i,j,k,l])]

Collect[(Subscript[Q, i,j,k,l]),(Subscript[p, _]),Simplify]

Collect[(Subscript[Q, i,j,k,l]),(Subscript[x, _]),Simplify]

CF[(Subscript[Q, i,j,k,l])/.{(Subscript[p, i])->((SubPlus[p])+(SubMinus[p]))/2,(Subscript[p, k])->((SubPlus[p])-(SubMinus[p]))/2,(Subscript[x, i])->((SubPlus[x])+(SubMinus[x]))/2,(Subscript[x, k])->((SubPlus[x])-(SubMinus[x]))/2}]

CF[(Subscript[(OverBar[Q]), i,j,k,l])/.{(Subscript[p, i])->((SubPlus[p])+(SubMinus[p]))/2,(Subscript[p, k])->((SubPlus[p])-(SubMinus[p]))/2,(Subscript[x, i])->((SubPlus[x])+(SubMinus[x]))/2,(Subscript[x, k])->((SubPlus[x])-(SubMinus[x]))/2}]

CF[(Subscript[Q, i,j,k,l])-(Subscript[(OverBar[Q]), i,j,k,l])/.{(Subscript[p, i])->((SubPlus[p])+(SubMinus[p]))/2,(Subscript[p, k])->((SubPlus[p])-(SubMinus[p]))/2,(Subscript[x, i])->((SubPlus[x])+(SubMinus[x]))/2,(Subscript[x, k])->((SubPlus[x])-(SubMinus[x]))/2}]

The Trefoil

L=CF[(Subscript[Q, 1,2,3,4])+(Subscript[Q, 3,2,5,4])+(Subscript[Q, 5,2,1,4])]

{CF[((∂_(Subscript[p, 1]))L)+((∂_(Subscript[p, 3]))L)+((∂_(Subscript[p, 5]))L)],CF[((∂_(Subscript[x, 1]))L)+((∂_(Subscript[x, 3]))L)+((∂_(Subscript[x, 5]))L)]}

∫𝔼[L]\[DifferentialD]{(Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 3]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 3])}

∫𝔼[L]\[DifferentialD]{(Subscript[p, 1]),(Subscript[p, 5]),(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 5])}

CF[(Subscript[Q, 1,2,3,4])+(Subscript[Q, 3,2,5,4])+(Subscript[Q, 5,2,1,4])/.{(Subscript[p, 1])->-(Subscript[p, 3])-(Subscript[p, 5]),(Subscript[x, 1])->-(Subscript[x, 3])-(Subscript[x, 5])}]

Re-sectioning

{CF[(Subscript[Q, i,j,k,l])/.(Subscript[(p|x), i])->0], CF[(Subscript[Q, i,j,k,l])/.(Subscript[(p|x), k])->0]}

{lhs,rhs}={∫𝔼[(Subscript[Q, i,j,k,l])/.(Subscript[(p|x), i])->0]\[DifferentialD]{(Subscript[p, k]),(Subscript[x, k])}, ∫𝔼[(Subscript[Q, i,j,k,l])/.(Subscript[(p|x), k])->0]\[DifferentialD]{(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i])}}

lhs==rhs

f=(Subscript[ξ, j])(Subscript[x, j])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+(Subscript[ξ, l])(Subscript[x, l])+(Subscript[π, l])(Subscript[p, l]);
{lhs,rhs}={∫𝔼[((Subscript[Q, i,j,k,l])+f)/.(Subscript[(p|x), i])->0]\[DifferentialD]{(Subscript[p, k]),(Subscript[x, k])}, ∫𝔼[((Subscript[Q, i,j,k,l])+f)/.(Subscript[(p|x), k])->0]\[DifferentialD]{(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i])}}
lhs==rhs

f=(Subscript[ξ, j])(Subscript[x, j])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+(Subscript[ξ, l])(Subscript[x, l])+(Subscript[π, l])(Subscript[p, l])+π((Subscript[p, i])-(Subscript[p, k]))+ξ((Subscript[x, i])-(Subscript[x, k]));
{lhs,rhs}={∫𝔼[((Subscript[Q, i,j,k,l])+f)/.(Subscript[(p|x), i])->0]\[DifferentialD]{(Subscript[p, k]),(Subscript[x, k])}, ∫𝔼[((Subscript[Q, i,j,k,l])+f)/.(Subscript[(p|x), k])->0]\[DifferentialD]{(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i])}}
lhs==rhs

f=(Subscript[ξ, j])(Subscript[x, j])+(Subscript[π, j])(Subscript[p, j])+(Subscript[ξ, l])(Subscript[x, l])+(Subscript[π, l])(Subscript[p, l])+π((Subscript[p, i])-(Subscript[p, k]))+ξ((Subscript[x, i])-(Subscript[x, k]));
{lhs,rhs}={∫𝔼[((Subscript[(OverBar[Q]), i,j,k,l])+f)/.(Subscript[(p|x), i])->0]\[DifferentialD]{(Subscript[p, k]),(Subscript[x, k])}, ∫𝔼[((Subscript[(OverBar[Q]), i,j,k,l])+f)/.(Subscript[(p|x), k])->0]\[DifferentialD]{(Subscript[p, i]),(Subscript[x, i])}}
lhs==rhs

R2b

(Subscript[Q, 1,2,3,4])+(Subscript[(OverBar[Q]), 3,2,5,4])//Expand

Expand@Collect[(Subscript[Q, 1,2,3,4])+(Subscript[(OverBar[Q]), 3,2,5,4]), (Subscript[(p|x), 3]),F]/.F->Factor

Expand[(Subscript[Q, 1,2,3,4])+(Subscript[(OverBar[Q]), 3,2,5,4])/.{(Subscript[p, 5])->(Subscript[p, 1]), (Subscript[x, 5])->(Subscript[x, 1])}]

R3

lhs=Simplify[(Subscript[Q, 1,2,7,6])+(Subscript[Q, 2,3,4,7])+(Subscript[Q, 7,4,5,6])];
rhs=Simplify[(Subscript[Q, 2,3,7,1])+(Subscript[Q, 1,7,5,6])+(Subscript[Q, 7,3,4,5])]

Simplify[lhs==rhs]

Expand@Collect[lhs, (Subscript[(p|x), 7]),F]/.F->Simplify

∫𝔼[lhs] \[DifferentialD]{(Subscript[p, 7]),(Subscript[x, 7])}

Expand@Collect[rhs, (Subscript[(p|x), 7]),F]/.F->Simplify

Simplify[(∫𝔼[rhs] \[DifferentialD]{(Subscript[p, 7]),(Subscript[x, 7])})==(∫𝔼[lhs] \[DifferentialD]{(Subscript[p, 7]),(Subscript[x, 7])})]

(∫𝔼[rhs] \[DifferentialD]{(Subscript[p, 7]),(Subscript[x, 7])})≡(∫𝔼[lhs] \[DifferentialD]{(Subscript[p, 7]),(Subscript[x, 7])})

R1s

R1s=Simplify@{(Subscript[Q, 2,3,2,1]), (Subscript[(OverBar[Q]), 2,3,2,1]),(Subscript[(OverBar[Q]), 1,2,1,3]),(Subscript[Q, 1,2,1,3])}

(SubPlus[R2C])

lhs=Collect[(Subscript[(OverBar[Q]), 4,1,2,5])+(Subscript[Q, 2,3,4,5]),t,Simplify]

(SubMinus[R2C])

lhs=Collect[(Subscript[(OverBar[Q]), 2,5,4,1])+(Subscript[Q, 4,5,2,3]),t,Simplify]