Pensieve header: Analyzing Reidemeister moves by hand.

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\Semi-Seifert"];
<< ../HigherRank/FormalGaussianIntegration.m

The Quadratic

Matrices from SSAlexander4Tangles.nb

({{, (({{M=(({{-1, -1, 2, 0}, {0, 0, 0, 0}, {0, 1, -1, 0}, {1, 0, -1, 0}}))}, {(OverBar[M])=(({{1, -1, 0, 0}, {0, 0, 0, 0}, {-2, 1, 1, 0}, {1, 0, -1, 0}}))}}))}});

(Subscript[Q, i_,j_,k_,l_]):={(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[p, k]),(Subscript[p, l])}.(t M-(t^(-1))M\[Transpose]).{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[x, k]),(Subscript[x, l])};
(Subscript[(OverBar[Q]), i_,j_,k_,l_]):={(Subscript[p, i]),(Subscript[p, j]),(Subscript[p, k]),(Subscript[p, l])}.(t (OverBar[M])-(t^(-1))(OverBar[M])\[Transpose]).{(Subscript[x, i]),(Subscript[x, j]),(Subscript[x, k]),(Subscript[x, l])};
(Subscript[xp, S_]):=Flatten[Table[{(Subscript[x, i]),(Subscript[p, i])},{i,S}]]

(Subscript[mons, i_,j_,k_,l_]):=MonomialList[((((Subscript[x, i])+(Subscript[x, j])+(Subscript[x, k])+(Subscript[x, l])))^2)((((Subscript[p, i])+(Subscript[p, j])+(Subscript[p, k])+(Subscript[p, l])))^2)+((Subscript[x, i])+(Subscript[x, j])+(Subscript[x, k])+(Subscript[x, l]))((Subscript[p, i])+(Subscript[p, j])+(Subscript[p, k])+(Subscript[p, l]))+1]/.{2 x_:>x,4x_:>x};
(Subscript[mons, 1,2,3,4])

(Subscript[Q, i,j,k,l])+ϵ Sum[(Subscript[α, z])(Subscript[mons, i,j,k,l])[[z]],{z,Length[(Subscript[mons, i,j,k,l])]}]

(Subscript[QP, i_,j_,k_,l_]):=(((1/t)-t) (Subscript[p, i])+((Subscript[p, j])/t)-((2 (Subscript[p, k]))/t)+t (Subscript[p, l])) (Subscript[x, i])+(-t (Subscript[p, i])+t (Subscript[p, k])) (Subscript[x, j])+(2 t (Subscript[p, i])-((Subscript[p, j])/t)+((1/t)-t) (Subscript[p, k])-t (Subscript[p, l])) (Subscript[x, k])+(-((Subscript[p, i])/t)+((Subscript[p, k])/t)) (Subscript[x, l])+ϵ ((Subscript[p, i]^2) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[α, 1])+(Subscript[p, i]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]) (Subscript[α, 2])+(Subscript[p, i]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 3])+(Subscript[p, i]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 4])+(Subscript[p, i]^2) (Subscript[x, j]^2) (Subscript[α, 5])+(Subscript[p, i]^2) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 6])+(Subscript[p, i]^2) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 7])+(Subscript[p, i]^2) (Subscript[x, k]^2) (Subscript[α, 8])+(Subscript[p, i]^2) (Subscript[x, k]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 9])+(Subscript[p, i]^2) (Subscript[x, l]^2) (Subscript[α, 10])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[α, 11])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]) (Subscript[α, 12])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 13])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 14])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, j]^2) (Subscript[α, 15])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 16])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 17])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, k]^2) (Subscript[α, 18])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, k]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 19])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, j]) (Subscript[x, l]^2) (Subscript[α, 20])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[α, 21])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]) (Subscript[α, 22])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 23])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 24])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, j]^2) (Subscript[α, 25])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 26])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 27])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, k]^2) (Subscript[α, 28])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, k]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 29])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, l]^2) (Subscript[α, 30])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[α, 31])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]) (Subscript[α, 32])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 33])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 34])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, j]^2) (Subscript[α, 35])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 36])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 37])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, k]^2) (Subscript[α, 38])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, k]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 39])+(Subscript[p, i]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, l]^2) (Subscript[α, 40])+(Subscript[p, i]) (Subscript[x, i]) (Subscript[α, 41])+(Subscript[p, i]) (Subscript[x, j]) (Subscript[α, 42])+(Subscript[p, i]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 43])+(Subscript[p, i]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 44])+(Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[α, 45])+(Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]) (Subscript[α, 46])+(Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 47])+(Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 48])+(Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, j]^2) (Subscript[α, 49])+(Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 50])+(Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 51])+(Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, k]^2) (Subscript[α, 52])+(Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, k]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 53])+(Subscript[p, j]^2) (Subscript[x, l]^2) (Subscript[α, 54])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[α, 55])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]) (Subscript[α, 56])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 57])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 58])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, j]^2) (Subscript[α, 59])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 60])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 61])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, k]^2) (Subscript[α, 62])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, k]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 63])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, k]) (Subscript[x, l]^2) (Subscript[α, 64])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[α, 65])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]) (Subscript[α, 66])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 67])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 68])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, j]^2) (Subscript[α, 69])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 70])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 71])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, k]^2) (Subscript[α, 72])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, k]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 73])+(Subscript[p, j]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, l]^2) (Subscript[α, 74])+(Subscript[p, j]) (Subscript[x, i]) (Subscript[α, 75])+(Subscript[p, j]) (Subscript[x, j]) (Subscript[α, 76])+(Subscript[p, j]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 77])+(Subscript[p, j]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 78])+(Subscript[p, k]^2) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[α, 79])+(Subscript[p, k]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]) (Subscript[α, 80])+(Subscript[p, k]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 81])+(Subscript[p, k]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 82])+(Subscript[p, k]^2) (Subscript[x, j]^2) (Subscript[α, 83])+(Subscript[p, k]^2) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 84])+(Subscript[p, k]^2) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 85])+(Subscript[p, k]^2) (Subscript[x, k]^2) (Subscript[α, 86])+(Subscript[p, k]^2) (Subscript[x, k]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 87])+(Subscript[p, k]^2) (Subscript[x, l]^2) (Subscript[α, 88])+(Subscript[p, k]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[α, 89])+(Subscript[p, k]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]) (Subscript[α, 90])+(Subscript[p, k]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 91])+(Subscript[p, k]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 92])+(Subscript[p, k]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, j]^2) (Subscript[α, 93])+(Subscript[p, k]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 94])+(Subscript[p, k]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 95])+(Subscript[p, k]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, k]^2) (Subscript[α, 96])+(Subscript[p, k]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, k]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 97])+(Subscript[p, k]) (Subscript[p, l]) (Subscript[x, l]^2) (Subscript[α, 98])+(Subscript[p, k]) (Subscript[x, i]) (Subscript[α, 99])+(Subscript[p, k]) (Subscript[x, j]) (Subscript[α, 100])+(Subscript[p, k]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 101])+(Subscript[p, k]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 102])+(Subscript[p, l]^2) (Subscript[x, i]^2) (Subscript[α, 103])+(Subscript[p, l]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, j]) (Subscript[α, 104])+(Subscript[p, l]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 105])+(Subscript[p, l]^2) (Subscript[x, i]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 106])+(Subscript[p, l]^2) (Subscript[x, j]^2) (Subscript[α, 107])+(Subscript[p, l]^2) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 108])+(Subscript[p, l]^2) (Subscript[x, j]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 109])+(Subscript[p, l]^2) (Subscript[x, k]^2) (Subscript[α, 110])+(Subscript[p, l]^2) (Subscript[x, k]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 111])+(Subscript[p, l]^2) (Subscript[x, l]^2) (Subscript[α, 112])+(Subscript[p, l]) (Subscript[x, i]) (Subscript[α, 113])+(Subscript[p, l]) (Subscript[x, j]) (Subscript[α, 114])+(Subscript[p, l]) (Subscript[x, k]) (Subscript[α, 115])+(Subscript[p, l]) (Subscript[x, l]) (Subscript[α, 116])+(Subscript[α, 117]))+((O[ϵ])^2)

LHSR3=∫𝔼[(Subscript[QP, f,g,e,a])+(Subscript[QP, g,d,c,e])+(Subscript[QP, e,c,b,a])]\[DifferentialD]{(Subscript[x, e]),(Subscript[p, e])}

RHSR3=∫𝔼[(Subscript[QP, g,d,e,f])+(Subscript[QP, f,e,b,a])+(Subscript[QP, e,d,c,b])]\[DifferentialD]{(Subscript[x, e]),(Subscript[p, e])}

(*Unperturbed*)
Cases[LHSR3, 𝔼[A_],Infinity][[1,1,1]]-
Cases[RHSR3, 𝔼[A_],Infinity][[1,1,1]]

eqnR3=Cases[LHSR3, 𝔼[A_],Infinity][[1,1,2]]-Cases[RHSR3, 𝔼[A_],Infinity][[1,1,2]]//CF;
eqnR3

varsR3=Union@Cases[eqnR3,(Subscript[α, k_]),Infinity]
Length@varsR3

CoefficientRules[eqnR3,(Subscript[xp, {a,b,c,d,f,g}])]

solR3=First@Solve[CoefficientRules[eqnR3,(Subscript[xp, {a,b,c,d,f,g}])]/.{(u_->v_):>v==0},varsR3]

Length[varsR3]-Length[solR3]

(Subscript[QP1, i_,j_,k_,l_]):=((O[ϵ])^2)+((Subscript[QP, i,j,k,l])/.solR3)//CF

(Subscript[QP1, i,j,k,l])

(*Checking R3:*)

LHS31=∫𝔼[(Subscript[QP1, f,g,e,a])+(Subscript[QP1, g,d,c,e])+(Subscript[QP1, e,c,b,a])]\[DifferentialD]{(Subscript[x, e]),(Subscript[p, e])}
RHS31=∫𝔼[(Subscript[QP1, g,d,e,f])+(Subscript[QP1, f,e,b,a])+(Subscript[QP1, e,d,c,b])]\[DifferentialD]{(Subscript[x, e]),(Subscript[p, e])}

LHS31-RHS31//Simplify

(*Trefoil, perturbed and unperturbed*)
PertTref=∫𝔼[(Subscript[QP1, 4,3,2,1])+(Subscript[QP1, 5,3,4,1])+(Subscript[QP1, 2,3,5,1])]\[DifferentialD]{(Subscript[x, 4]),(Subscript[p, 4]),(Subscript[x, 5]),(Subscript[p, 5])}
∫𝔼[(Subscript[Q, 4,3,2,1])+(Subscript[Q, 5,3,4,1])+(Subscript[Q, 2,3,5,1])]\[DifferentialD]{(Subscript[x, 4]),(Subscript[p, 4]),(Subscript[x, 5]),(Subscript[p, 5])}

CF[PertTref/.{(Subscript[α, 34])->-(Subscript[α, 97]),(Subscript[α, 12])->-(Subscript[α, 23])-(Subscript[α, 97])}/.(Subscript[α, 23])->0/.(Subscript[α, 3])->-((t^4) (Subscript[α, 21])+(Subscript[α, 28])+(t^4) (Subscript[α, 81]))/.(Subscript[α, 6])->-(t^2) (Subscript[α, 21])+(t^4) (Subscript[α, 21])+(Subscript[α, 28])+(t^2) (Subscript[α, 55])-2 (t^2) (Subscript[α, 81])+(t^4) (Subscript[α, 81])/.(Subscript[α, 21])->-(Subscript[α, 81])]

Coefficient[(Subscript[QP1, i,j,k,l]),(Subscript[α, #])]&/@{43,99,117}

(*(Subscript[5, 2])*)
∫𝔼[(Subscript[Q, 1,2,4,3])+(Subscript[Q, 4,5,1,3])+(Subscript[Q, 1,5,4,6])+(Subscript[Q, 7,2,1,6])+(Subscript[Q, 4,2,7,6])]\[DifferentialD] (Subscript[xp, {4,7}])

Pert52=∫𝔼[(Subscript[QP1, 1,2,4,3])+(Subscript[QP1, 4,5,1,3])+(Subscript[QP1, 1,5,4,6])+(Subscript[QP1, 7,2,1,6])+(Subscript[QP1, 4,2,7,6])]\[DifferentialD] (Subscript[xp, {4,7}]);
CF[Pert52/.{(Subscript[α, 34])->-(Subscript[α, 97]),(Subscript[α, 12])->-(Subscript[α, 23])-(Subscript[α, 97])}/.(Subscript[α, 23])->0/.(Subscript[α, 3])->-((t^4) (Subscript[α, 21])+(Subscript[α, 28])+(t^4) (Subscript[α, 81]))/.(Subscript[α, 6])->-(t^2) (Subscript[α, 21])+(t^4) (Subscript[α, 21])+(Subscript[α, 28])+(t^2) (Subscript[α, 55])-2 (t^2) (Subscript[α, 81])+(t^4) (Subscript[α, 81])/.(Subscript[α, 21])->-(Subscript[α, 81])]

CF[Pert52/.{(Subscript[α, 34])->-(Subscript[α, 97]),(Subscript[α, 12])->-(Subscript[α, 23])-(Subscript[α, 97])}/.(Subscript[α, 23])->0/.(Subscript[α, 3])->-((t^4) (Subscript[α, 21])+(Subscript[α, 28])+(t^4) (Subscript[α, 81]))/.(Subscript[α, 6])->-(t^2) (Subscript[α, 21])+(t^4) (Subscript[α, 21])+(Subscript[α, 28])+(t^2) (Subscript[α, 55])-2 (t^2) (Subscript[α, 81])+(t^4) (Subscript[α, 81])/.(Subscript[α, 21])->-(Subscript[α, 81])/.(Subscript[α, 28])->(t^2) (Subscript[α, 81])]