Pensieve header: Reordering exponentials in $sl_2$ and in ${\mathfrak g}_0$.

Prolog

Go;

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\PPSA"];
SetOptions[EvaluationNotebook[],
NotebookEventActions->{
{"MenuCommand","Save"}:>Get["MakeSnips.m"],
PassEventsDown->True
}];

y=(({{0, 0}, {1, 0}})); a=(({{1, 0}, {0, -1}})); x=(({{0, 1}, {0, 0}}));
{a.x-x.a==2x, a.y-y.a==-2y, x.y-y.x==a}

𝔼[M_?MatrixQ] := MatrixExp[M];
Simplify[𝔼[(Subscript[η, 1]) y].𝔼[(Subscript[α, 1]) a].𝔼[(Subscript[ξ, 1]) x].𝔼[(Subscript[η, 2]) y].𝔼[(Subscript[α, 2]) a].𝔼[(Subscript[ξ, 2]) x]==𝔼[(Subscript[η, 0])y].𝔼[(Subscript[α, 0])a].𝔼[(Subscript[ξ, 0])x] /. {(Subscript[η, 0])->(Subscript[η, 1])+(((E^(-2 (Subscript[α, 1]))) (Subscript[η, 2]))/(1+(Subscript[η, 2]) (Subscript[ξ, 1]))), (Subscript[α, 0])->(Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])+Log[1+(Subscript[η, 2]) (Subscript[ξ, 1])], (Subscript[ξ, 0])->(((Subscript[ξ, 2])+(Subscript[ξ, 1]) ((E^(-2 (Subscript[α, 2])))+(Subscript[η, 2]) (Subscript[ξ, 2])))/(1+(Subscript[η, 2]) (Subscript[ξ, 1])))}]

y=(({{0, 1, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}})); a=(({{0, 0, 0}, {0, 2, 0}, {0, 0, 0}})); x=(({{0, 0, 0}, {0, 0, 1}, {0, 0, 0}}));c=(({{0, 0, -1}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}));
{a.x-x.a==2x, a.y-y.a==-2y, x.y-y.x==c, x.c==c.x, y.c==c.y, a.c==c.a}

Simplify[𝔼[(Subscript[η, 1]) y].𝔼[(Subscript[α, 1]) a].𝔼[(Subscript[ξ, 1]) x].𝔼[(Subscript[η, 2]) y].𝔼[(Subscript[α, 2]) a].𝔼[(Subscript[ξ, 2]) x]==𝔼[(Subscript[η, 0])y].𝔼[(Subscript[α, 0])a].𝔼[(Subscript[ξ, 0])x].𝔼[(Subscript[γ, 0])c] /. {(Subscript[η, 0])->(Subscript[η, 1])+(E^(-2(Subscript[α, 1]))) (Subscript[η, 2]), (Subscript[α, 0])->(Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]), (Subscript[ξ, 0])->(E^(-2(Subscript[α, 2]))) (Subscript[ξ, 1])+(Subscript[ξ, 2]),(Subscript[γ, 0])->(Subscript[η, 2]) (Subscript[ξ, 1])}]