y=(({{0, 0}, {1, 0}})); x=(({{0, 1}, {0, 0}})); a=(({{1, 0}, {0, -1}}));
Column[
First@Solve[Thread[Flatten/@(MatrixExp[ξ x].MatrixExp[α a].MatrixExp[η y]==MatrixExp[Y y].MatrixExp[A a].MatrixExp[X x])], {Y,A,X}] /. C[1]->0/. (v_->ℰ_) :> (v->Simplify@PowerExpand[ℰ])
]

y=(({{0, 0}, {1, 0}})); x=(({{0, 1}, {0, 0}})); a=(({{1, 0}, {0, -1}}));
Column[
First@Solve[Thread[Flatten/@(MatrixExp[(Subscript[η, 1]) y].MatrixExp[(Subscript[α, 1]) a].MatrixExp[(Subscript[ξ, 1]) x].MatrixExp[(Subscript[η, 2]) y].MatrixExp[(Subscript[α, 2]) a].MatrixExp[(Subscript[ξ, 2]) x]==MatrixExp[Y y].MatrixExp[A a].MatrixExp[X x])], {Y,A,X}] /. C[1]->0/. (v_->ℰ_) :> (v->Simplify@PowerExpand[ℰ])
]

y=(({{0, 0, 0}, {0, 0, 1}, {0, 0, 0}})); x=(({{0, 1, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}})); a=(({{0, 0, 1}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}));
Column[
First@Solve[Thread[Flatten/@(MatrixExp[ξ x].MatrixExp[α a].MatrixExp[η y]==MatrixExp[Y y].MatrixExp[A a].MatrixExp[X x])], {Y,A,X}] /. C[1]->0/. (v_->ℰ_) :> (v->Expand@PowerExpand[ℰ])
]

y=(({{0, 0, 0}, {0, 0, 1}, {0, 0, 0}})); x=(({{0, 1, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}})); a=(({{0, 0, 1}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}));
Column[
First@Solve[Thread[Flatten/@(MatrixExp[(Subscript[η, 1]) y].MatrixExp[(Subscript[α, 1]) a].MatrixExp[(Subscript[ξ, 1]) x].MatrixExp[(Subscript[η, 2]) y].MatrixExp[(Subscript[α, 2]) a].MatrixExp[(Subscript[ξ, 2]) x]==MatrixExp[Y y].MatrixExp[A a].MatrixExp[X x])], {Y,A,X}] /. C[1]->0/. (v_->ℰ_) :> (v->Expand@PowerExpand[ℰ])
]

y=(({{0, 1, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}})); a=(({{0, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 0}})); x=(({{0, 0, 0}, {0, 0, 1}, {0, 0, 0}}));c=(({{0, 0, -1}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}));
Column[
First@Solve[Thread[Flatten/@(MatrixExp[(Subscript[η, 1]) y].MatrixExp[(Subscript[α, 1]) a].MatrixExp[(Subscript[ξ, 1]) x].MatrixExp[(Subscript[η, 2]) y].MatrixExp[(Subscript[α, 2]) a].MatrixExp[(Subscript[ξ, 2]) x]==MatrixExp[Y y].MatrixExp[A a].MatrixExp[X x].MatrixExp[γ c])], {Y,A,X, γ}] /. C[1]->0/. (v_->ℰ_) :> (v->Expand@PowerExpand[ℰ])
]

y=(({{0, 0, 0}, {0, 0, 1}, {0, 0, 0}})); a=(({{0, 0, 1}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}})); x=(({{0, 1, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}));
{a.x==x.a, a.y==y.a, x.y-y.x==a}

𝔼[M_?MatrixQ] := MatrixExp[M];
Simplify[𝔼[(Subscript[η, 1]) y].𝔼[(Subscript[α, 1]) a].𝔼[(Subscript[ξ, 1]) x].𝔼[(Subscript[η, 2]) y].𝔼[(Subscript[α, 2]) a].𝔼[(Subscript[ξ, 2]) x]==𝔼[(Subscript[η, 0])y].𝔼[(Subscript[α, 0])a].𝔼[(Subscript[ξ, 0])x] /. {(Subscript[η, 0])->(Subscript[η, 1])+(Subscript[η, 2]), (Subscript[α, 0])->(Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])+(Subscript[η, 2]) (Subscript[ξ, 1]), (Subscript[ξ, 0])->(Subscript[ξ, 1])+(Subscript[ξ, 2])}]