Pensieve header: Finding the YB element for NOE-1.

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\OneCo-1606"];
<< NOE-1.m

Solution to all-but-one equations, as found on 160807:

ECAllButOne={(Subscript[f, 2])[x_,y_]:>y (Subscript[f, 9])[x,y]+(y^2) (Subscript[f, 26])[x,y]-(Subscript[g, 6])[x],(Subscript[f, 3])[x_,z_]:>(x^2) (Subscript[f, 18])[x,z],(Subscript[f, 4])[x_,y_]:>y (Subscript[f, 13])[x,y]-(Subscript[g, 1])[x],(Subscript[f, 5])[x_,y_]:>(y^2) (Subscript[f, 26])[x,y],(Subscript[f, 8])[x_,z_]:>0,(Subscript[f, 10])[x_,z_]:>2 x (Subscript[f, 18])[x,z],(Subscript[f, 11])[x_,y_]:>2 x (Subscript[f, 18])[x,y]-2 (E^x) x (Subscript[f, 18])[x,y]-(Subscript[g, 4])[x],(Subscript[f, 12])[x_,z_]:>0,(Subscript[f, 13])[x_,z_]:>x (Subscript[f, 22])[x,z]-(Subscript[g, 3])[z],(Subscript[f, 14])[x_,y_]:>y (Subscript[f, 22])[x,y]-(Subscript[g, 2])[x],(Subscript[f, 15])[x_,y_]:>(1/((-1+(E^y)) x))(-x y (Subscript[f, 23])[x,y]+(E^y) x y (Subscript[f, 23])[x,y]+x (Subscript[g, 2])[x]-(E^x) x (Subscript[g, 2])[x]-(E^y) x (Subscript[g, 2])[x]+(E^(x+y)) x (Subscript[g, 2])[x]-(E^y) y (Subscript[g, 2])[y]+(E^(x+y)) y (Subscript[g, 2])[y]-y (Subscript[g, 3])[y]+(E^x) y (Subscript[g, 3])[y]-y (Subscript[g, 4])[y]+(E^x) y (Subscript[g, 4])[y]+8 (y^2) (Subscript[g, 5])[y]-8 (E^x) (y^2) (Subscript[g, 5])[y]-16 (E^y) (y^2) (Subscript[g, 5])[y]+8 (E^(2 y)) (y^2) (Subscript[g, 5])[y]+16 (E^(x+y)) (y^2) (Subscript[g, 5])[y]-8 (E^(x+2 y)) (y^2) (Subscript[g, 5])[y]+4 y (Subscript[g, 7])[y]-4 (E^x) y (Subscript[g, 7])[y]-4 (E^y) y (Subscript[g, 7])[y]+4 (E^(x+y)) y (Subscript[g, 7])[y]),(Subscript[f, 16])[x_,z_]:>0,(Subscript[f, 17])[x_,y_]:>2 y (Subscript[f, 26])[x,y],(Subscript[f, 18])[x_,y_]:>-(((Subscript[f, 19])[x,y]+4 (Subscript[g, 5])[x]-8 (E^x) (Subscript[g, 5])[x]+4 (E^(2 x)) (Subscript[g, 5])[x])/(2 (-1+(E^x)))),(Subscript[f, 19])[x_,y_]:>(1/((-1+(E^x)) (-1+(E^y)) (x^2) y))(-1+2 (E^x)-(E^(2 x))+(E^y)-2 (E^(x+y))+(E^(2 x+y))+2 (x^2) y (Subscript[f, 20])[x,y]-2 (E^y) (x^2) y (Subscript[f, 20])[x,y]+x y (Subscript[g, 4])[x]-(E^x) x y (Subscript[g, 4])[x]-(E^y) x y (Subscript[g, 4])[x]+(E^(x+y)) x y (Subscript[g, 4])[x]+(y^2) (Subscript[g, 4])[y]-2 (E^x) (y^2) (Subscript[g, 4])[y]+(E^(2 x)) (y^2) (Subscript[g, 4])[y]-4 (y^3) (Subscript[g, 5])[y]+8 (E^x) (y^3) (Subscript[g, 5])[y]-4 (E^(2 x)) (y^3) (Subscript[g, 5])[y]+8 (E^y) (y^3) (Subscript[g, 5])[y]-4 (E^(2 y)) (y^3) (Subscript[g, 5])[y]-16 (E^(x+y)) (y^3) (Subscript[g, 5])[y]+8 (E^(2 x+y)) (y^3) (Subscript[g, 5])[y]+8 (E^(x+2 y)) (y^3) (Subscript[g, 5])[y]-4 (E^(2 x+2 y)) (y^3) (Subscript[g, 5])[y]-(E^y) y (Subscript[h, 1])[]+2 (E^(x+y)) y (Subscript[h, 1])[]-(E^(2 x+y)) y (Subscript[h, 1])[]),(Subscript[f, 21])[x_,z_]:>0,(Subscript[f, 22])[x_,z_]:>((-x (Subscript[f, 23])[x,z]-4 (Subscript[g, 7])[z]+4 (E^x) (Subscript[g, 7])[z])/((-1+(E^x)) x)),(Subscript[f, 24])[x_,z_]:>0,(Subscript[f, 25])[x_,z_]:>0,(Subscript[g, 1])[y_]:>y (Subscript[g, 2])[y]+(Subscript[h, 1])[],(Subscript[g, 2])[y_]:>(1/(2 (y^2)))(E^(-y)) (-2+2 (E^y)-2 (y^2) (Subscript[g, 3])[y]+8 (y^3) (Subscript[g, 5])[y]-16 (E^y) (y^3) (Subscript[g, 5])[y]+8 (E^(2 y)) (y^3) (Subscript[g, 5])[y]+8 (y^2) (Subscript[g, 7])[y]-8 (E^y) (y^2) (Subscript[g, 7])[y]-y (Subscript[h, 1])[]-(E^y) y (Subscript[h, 1])[]),(Subscript[f, 1])[x_,z_]:>(1/2) (-((x (-2 (((-1+(E^x)))^2) (Subscript[f, 6])[x,z]-2 x (Subscript[f, 20])[x,z]+(-1+(E^x)) ((Subscript[g, 4])[x]+4 (((-1+(E^x)))^2) x (Subscript[g, 5])[x])))/(((-1+(E^x)))^2))+(Subscript[g, 8])[z])};

Solution to all equations, as found on 160809:

ECAll=ECAllButOne⋃{ (Subscript[f, 6])[x_,z_]->((-((x (Subscript[f, 7])[x,z])/(-1+(E^x)))+(Subscript[g, 9])[x]+(Subscript[g, 10])[z])/x), (Subscript[g, 10])[y_]->(1/(2 (((-1+(E^y)))^2) y))(-1+(E^y)-(y^2) (Subscript[g, 4])[y]+2 (E^y) (y^2) (Subscript[g, 4])[y]-4 (y^3) (Subscript[g, 5])[y]+8 (E^y) (y^3) (Subscript[g, 5])[y]-4 (E^(2 y)) (y^3) (Subscript[g, 5])[y]+2 (E^y) y (Subscript[g, 6])[y]-2 (E^(2 y)) y (Subscript[g, 6])[y]-y (Subscript[g, 8])[y]+(E^y) y (Subscript[g, 8])[y]-2 y (Subscript[g, 9])[y]+4 (E^y) y (Subscript[g, 9])[y]-2 (E^(2 y)) y (Subscript[g, 9])[y]-(E^y) y (Subscript[h, 1])[])};

ϵ U[(Subscript[c, j])] (Subscript[f, 1])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, k])] (Subscript[f, 2])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, j]),(Subscript[c, j])] (Subscript[f, 3])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, j]),(Subscript[c, k])] (Subscript[f, 4])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, k]),(Subscript[c, k])] (Subscript[f, 5])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 6])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 7])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, k]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 8])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, k]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 9])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, j]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 10])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, j]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 11])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, j]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 12])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, j]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 13])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, k]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 14])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, k]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 15])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, k]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 16])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[c, k]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 17])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 18])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 19])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[u, j]),(Subscript[w, k]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 20])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 21])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 22])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, j]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, k]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 23])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, k]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, j])] (Subscript[f, 24])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, k]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, j]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 25])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])]+ϵ U[(Subscript[u, k]),(Subscript[u, k]),(Subscript[w, k]),(Subscript[w, k])] (Subscript[f, 26])[(Subscript[b, j]),(Subscript[b, k])] /. {U->Times, j->i,k->j}

Rp[i_,j_]:=𝔼[(Subscript[b, i])(Subscript[c, j])+(((E^(Subscript[b, i]))-1)/(Subscript[b, i]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])](1+ϵ (Subscript[c, i]) (Subscript[f, 1])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[c, j]) (Subscript[f, 2])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[c, i]^2) (Subscript[f, 3])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[c, i]) (Subscript[c, j]) (Subscript[f, 4])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[c, j]^2) (Subscript[f, 5])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[u, i]) (Subscript[w, i]) (Subscript[f, 6])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[u, i]) (Subscript[w, j]) (Subscript[f, 7])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[u, j]) (Subscript[w, i]) (Subscript[f, 8])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[u, j]) (Subscript[w, j]) (Subscript[f, 9])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[c, i]) (Subscript[u, i]) (Subscript[w, i]) (Subscript[f, 10])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[c, i]) (Subscript[u, i]) (Subscript[w, j]) (Subscript[f, 11])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[c, i]) (Subscript[u, j]) (Subscript[w, i]) (Subscript[f, 12])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[c, i]) (Subscript[u, j]) (Subscript[w, j]) (Subscript[f, 13])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[c, j]) (Subscript[u, i]) (Subscript[w, i]) (Subscript[f, 14])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[c, j]) (Subscript[u, i]) (Subscript[w, j]) (Subscript[f, 15])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[c, j]) (Subscript[u, j]) (Subscript[w, i]) (Subscript[f, 16])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[c, j]) (Subscript[u, j]) (Subscript[w, j]) (Subscript[f, 17])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[u, i]^2) (Subscript[w, i]^2) (Subscript[f, 18])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[u, i]^2) (Subscript[w, i]) (Subscript[w, j]) (Subscript[f, 19])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[u, i]^2) (Subscript[w, j]^2) (Subscript[f, 20])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[u, i]) (Subscript[u, j]) (Subscript[w, i]^2) (Subscript[f, 21])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[u, i]) (Subscript[u, j]) (Subscript[w, i]) (Subscript[w, j]) (Subscript[f, 22])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[u, i]) (Subscript[u, j]) (Subscript[w, j]^2) (Subscript[f, 23])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[u, j]^2) (Subscript[w, i]^2) (Subscript[f, 24])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[u, j]^2) (Subscript[w, i]) (Subscript[w, j]) (Subscript[f, 25])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])]+ϵ (Subscript[u, j]^2) (Subscript[w, j]^2) (Subscript[f, 26])[(Subscript[b, i]),(Subscript[b, j])])

Short[t1=Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6] // m[3,5,x]//m[1,6,y]//m[2,4,z]]

t2=Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6]//m[1,3,x]//m[2,5,y]//m[4,6,z]

Short[t3=(t1≡t2)[[1]]]

Short[Errors=CoefficientRules[Expand[t3], {(Subscript[c, x]),(Subscript[c, y]),(Subscript[c, z]),(Subscript[u, x]),(Subscript[u, y]),(Subscript[u, z]),(Subscript[w, x]),(Subscript[w, y]),(Subscript[w, z])}] /. {(_->c_) :> c} /. {(Subscript[b, x])->x, (Subscript[b, y])->y, (Subscript[b, z])->z}]

EC={}; E0=Errors; gn=hn=0;

EC=ECAllButOne; {gn=Cases[EC,(Subscript[g, n_])[_]:>n,∞]//Max,hn=Cases[EC,(Subscript[h, n_])[]:>n,∞]//Max}

AddRule[ff_,rule_]:=(
Print["As ",e0,", adding ",rule];
done=False; EC=EC⋃{rule}
);
MF[ϕ_,v_]:=Module[{t=ϕ,t1}, If[Simplify[t]===0, 1,
While[(t1=Simplify[t/.v->0])===0, t=D[t,v]]; t1
]];

done=False; While[!done, done=True;
E0=DeleteCases[Simplify[E0//.EC], 0] // SortBy[LeafCount];
Print["Length[E0]==", Length[E0], "; Length[EC]==", Length[EC], "; {gn,hn}==", {gn,hn}];
For[k=1, k≤Length@E0, ++k,
e1=Factor[e0=E0[[k]]];
If[Head[e1]=!=Times, e2=e1,
E0[[k]]=e2=Select[e1, !FreeQ[#, (Subscript[f, _])[_,_]|(Subscript[g, _])[_]|(Subscript[h, _])[]]&] ];
If[e2==1,Print["Panic at ",e0,"! No solutions."]; Break[]];
If[!FreeQ[e2,(Subscript[f, _])[_,_]]∧(FreeQ[e2,x]∨FreeQ[e2,y]∨FreeQ[e2,z]),
{ff}=Cases[e2, (Subscript[f, _])[_,_], {0,∞}, 1];
{{sol}}=Solve[e2==0, ff];
rule=((ff/.{x-> x_, y->y_,z->z_}) -> (ff/.sol)) /. Rule->RuleDelayed;
AddRule[ff,rule]; Break[]
];
If[!FreeQ[e2,(Subscript[g, _])[_]]∧(FreeQ[e2,y|z]∨FreeQ[e2,x|z]∨FreeQ[e2,z|y]),
{gg}=Cases[e2, (Subscript[g, _])[_], ∞, 1];
{{sol}}=Solve[e2==0, gg];
rule=((gg/.{x-> x_, y->y_,z->z_}) -> (gg/.sol)) /. Rule->RuleDelayed;
AddRule[gg,rule]; Break[]
];
If[Head[e2]===Plus,
s=List@@Collect[e2, (Subscript[f, _])[_,_], Factor]; s1=Select[s, FreeQ[(Subscript[f, _])[_,_]]];
sxy=Cases[s,a_.*(Subscript[f, _])[x,y]]; sxz=Cases[s,a_.*(Subscript[f, _])[x,z]]; syz=Cases[s,a_.*(Subscript[f, _])[y,z]];
Which[
sxy=={}∧sxz=!={}∧syz=!={}, (Print["here"];
{ff}=Cases[sxz, a_.*(Subscript[f, k_])[x,z]:>(Subscript[f, k])[x,z],{1},1];
mf=MF[First@sxz /. (Subscript[f, _])[x,z]->1,x]; mf*=MF[First@syz /. (Subscript[f, _])[y,z]->1,y];
s1=Plus@@Simplify[s1/mf]; sxz=Plus@@Simplify[sxz/mf]; syz=Plus@@Simplify[syz/mf];
Print[{mf,s1,sxz,syz}];
If[FreeQ[sxz,y]∧FreeQ[syz,x]∧FreeQ[s1,x|y]∧Simplify[(sxz/.x->y)+syz ==0],
{{sol}}=Solve[sxz==(Subscript[g, ++gn])[z], ff];
rule=((ff/.{x-> x_, y->y_,z->z_}) -> (ff/.sol)) /. Rule->RuleDelayed;
AddRule[ff,rule]; Break[]
]
),
syz=={}∧sxy=!={}∧sxz=!={}, (
{ff}=Cases[sxy, a_.*(Subscript[f, k_])[x,y]:>(Subscript[f, k])[x,y],{1},1];
mf=MF[First@sxy /. (Subscript[f, _])[x,y]->1,y]; mf*=MF[First@sxz /. (Subscript[f, _])[x,z]->1,z];
s1=Plus@@Simplify[s1/mf]; sxy=Plus@@Simplify[sxy/mf]; sxz=Plus@@Simplify[sxz/mf];
If[FreeQ[sxy,z]∧FreeQ[sxz,y]∧FreeQ[s1,y|z]∧Simplify[(sxz/.z->y)+sxy ==0],
{{sol}}=Solve[sxy==(Subscript[g, ++gn])[x], ff];
rule=((ff/.{x-> x_, y->y_,z->z_}) -> (ff/.sol)) /. Rule->RuleDelayed;
AddRule[ff,rule]; Break[]
]
),
sxy=!={}∧sxz=!={}∧syz=!={}, (
kk=Union@Cases[e2, a_.*(Subscript[f, k_])[x,y]:>k,∞];
If[Length[kk]==1,
{kk}=kk;
{{sol}}=Solve[e2==0, (Subscript[f, kk])[x,y]];
sol=(Subscript[f, kk])[x,y]/.sol;
e3=D[sol,z]//Factor;
If[FreeQ[e3,(Subscript[f, _])[_,_]],
If[Head[e3]===Times, e3=Select[e3, !FreeQ[#, Derivative[0,1][(Subscript[f, _])][_,_]|(Subscript[g, _])[_]|(Subscript[h, _])[]]&] ];
s=Collect[e3, Derivative[0,1][(Subscript[f, _])][_,_], Factor];
s1=Select[s, FreeQ[Derivative[0,1][(Subscript[f, _])][_,_]]];
pxz=Coefficient[s,Derivative[0,1][(Subscript[f, kk])][x,z]];
pyz=Coefficient[s,Derivative[0,1][(Subscript[f, kk])][y,z]];
mf=MF[pxz,x]; mf*=MF[pyz,y];
{s1,pxz,pyz}=Simplify[{s1,pxz,pyz}/mf];
If[FreeQ[pxz,y]∧FreeQ[pyz,x]∧FreeQ[s1,x|y]∧Simplify[(pyz/.y->x)+pxz ==0],
rule=((Subscript[f, kk])[x_,z_]->(Subscript[g, ++gn])[z]/pxz+(Subscript[g, ++gn])[x]) /. Rule->RuleDelayed;
AddRule[(Subscript[f, kk])[x,z],rule]; Break[]
]
]
]
)
];
If[FreeQ[e2, (Subscript[f, _])[_,_]]∧!FreeQ[e2,(Subscript[g, _])[_]],
s=List@@Collect[e2, (Subscript[g, _])[_], Factor]; s1=Select[s, FreeQ[(Subscript[g, _])[_]]];
sx=Cases[s,a_.*(Subscript[g, _])[x]]; sy=Cases[s,a_.*(Subscript[g, _])[y]]; sz=Cases[s,a_.*(Subscript[g, _])[z]];
Which[
FreeQ[e2,x]∧sy=!={}∧sz=!={}, (
{gg}=Cases[sy, a_.*(Subscript[g, k_])[y]:>(Subscript[g, k])[y],{1},1];
mf=MF[First@sy /. (Subscript[g, _])[y]->1,y]; mf*=MF[First@sz /. (Subscript[g, _])[z]->1,z];
s1=Plus@@Simplify[s1/mf]; sy=Plus@@Simplify[sy/mf]; sz=Plus@@Simplify[sz/mf];
If[FreeQ[sx,y]∧FreeQ[sz,y]∧FreeQ[s1,y|z]∧Simplify[(sz/.z->y)+sy ==0],
{{sol}}=Solve[sy==(Subscript[h, ++hn])[], gg];
rule=((gg/.{x-> x_, y->y_,z->z_}) -> (gg/.sol)) /. Rule->RuleDelayed;
AddRule[gg,rule]; Break[]
]
),
FreeQ[e2,z]∧sy=!={}∧sx=!={}, (
{gg}=Cases[sy, a_.*(Subscript[g, k_])[y]:>(Subscript[g, k])[y],{1},1];
mf=MF[First@sy /. (Subscript[g, _])[y]->1,y]; mf*=MF[First@sx /. (Subscript[g, _])[x]->1,x];
s1=Plus@@Simplify[s1/mf]; sy=Plus@@Simplify[sy/mf]; sx=Plus@@Simplify[sx/mf];
If[FreeQ[sz,y]∧FreeQ[sx,y]∧FreeQ[s1,y|x]∧Simplify[(sx/.x->y)+sy ==0],
{{sol}}=Solve[sy==(Subscript[h, ++hn])[], gg];
rule=((gg/.{x-> x_, y->y_,z->z_}) -> (gg/.sol)) /. Rule->RuleDelayed;
AddRule[gg,rule]; Break[]
]
)
] (* Which *)
] (* If *)
] (* If *)
] (* For *)
]; (* While *)
E0=Union[DeleteCases[Simplify[E0//.EC], 0]] // SortBy[LeafCount];

EC

E0

A specific solution of the remaining equation:

E0[[1]] /. {(Subscript[f, 7])[__]->0, (Subscript[g, _])[_]->0, (Subscript[h, _])[]->0, (Subscript[f, 6])[x_,y_] :>(1/(2x y ((E^y)-1)))}//Simplify

eq0=Collect[((E0[[1]])/((-1+(E^x)) (-1+(E^y)))), (Subscript[f, 6])[__],FullSimplify]

eq1=(1/((1/(((-1+(E^x)))^2))2 (-1+(E^y)) y ))D[eq0,x]//Simplify

(eq1/.(Subscript[f, _])[x,y]|Derivative[1,0][(Subscript[f, _])][x,y]->0)+(eq1/.(Subscript[f, _])[x,z]|Derivative[1,0][(Subscript[f, _])][x,z]->0) == eq1 // Simplify

FreeQ[(eq1/.(Subscript[f, _])[x,y]|Derivative[1,0][(Subscript[f, _])][x,y]->0),y]

FreeQ[(eq1/.(Subscript[f, _])[x,z]|Derivative[1,0][(Subscript[f, _])][x,z]->0),z]

Collect[(-eq1/.(Subscript[f, _])[x,y]|Derivative[1,0][(Subscript[f, _])][x,y]->0), (Subscript[f, 6])[x,z]|Derivative[1,0][(Subscript[f, 6])][x,z], Simplify]

DSolve[D[a[x](((-1+(E^x)))^2) x,x]==(((-1+(E^x)))^2)a[x], a[x],x]

eq2=Collect[(1/(((-1+(E^x)))^2))(-eq1/.(Subscript[f, _])[x,y]|Derivative[1,0][(Subscript[f, _])][x,y]->0), (Subscript[f, 6])[x,z]|Derivative[1,0][(Subscript[f, 6])][x,z], Simplify]

Collect[(1/(((-1+(E^x)))^2))(-eq1/.(Subscript[f, _])[x,y]|Derivative[1,0][(Subscript[f, _])][x,y]->0), (Subscript[f, 7])[x,z]|Derivative[1,0][(Subscript[f, 7])][x,z], Simplify]

D[x (Subscript[f, 6])[x,z]+((x (Subscript[f, 7])[x,z])/(-1+(E^x))),x]-eq2//Simplify

Simplify[(Subscript[f, 6])[x,z]/. First@Solve[x (Subscript[f, 6])[x,z]+((x (Subscript[f, 7])[x,z])/(-1+(E^x)))==(Subscript[g, 9])[x]+(Subscript[g, 10])[z], (Subscript[f, 6])[x,z]]]

eq3=Simplify[eq0/.(Subscript[f, 6])[x_,z_]->((-((x (Subscript[f, 7])[x,z])/(-1+(E^x)))+(Subscript[g, 9])[x]+(Subscript[g, 10])[z])/x)]

First@Solve[eq3==0,(Subscript[g, 10])[y]]

Simplify[eq0 /. z->y]

Simplify[eq0 /. x->y]

Simplify[eq0 /. z->x]

Simplify[E0 /. (Subscript[f, 6])[x_,z_]->((-((x (Subscript[f, 7])[x,z])/(-1+(E^x)))+(Subscript[g, 9])[x]+(Subscript[g, 10])[z])/x) /. (Subscript[g, 10])[y_]->(1/(2 (((-1+(E^y)))^2) y))(-1+(E^y)-(y^2) (Subscript[g, 4])[y]+2 (E^y) (y^2) (Subscript[g, 4])[y]-4 (y^3) (Subscript[g, 5])[y]+8 (E^y) (y^3) (Subscript[g, 5])[y]-4 (E^(2 y)) (y^3) (Subscript[g, 5])[y]+2 (E^y) y (Subscript[g, 6])[y]-2 (E^(2 y)) y (Subscript[g, 6])[y]-y (Subscript[g, 8])[y]+(E^y) y (Subscript[g, 8])[y]-2 y (Subscript[g, 9])[y]+4 (E^y) y (Subscript[g, 9])[y]-2 (E^(2 y)) y (Subscript[g, 9])[y]-(E^y) y (Subscript[h, 1])[])]