Pensieve header: Normally Ordered Exponentials at 1-Co in the t variables.

For pragmatic reasons, 𝔼[ω,L,Q,P] means (ω^(-1))(1+ϵ (ω^(-4))P)Exp[L+(ω^(-1))Q], where ω is an ϵ-free scalar, L is linear and contains only c’s and b’s, Q is a balanced quadratic in the u’s and the w’s and contains no c’s and b’s, and P is a balanced quartic polynomial in the c’s, u’s, and w’s, . 𝔼 is also a casting operator: 𝔼[(ω^(-1)) (1+ϵ (ω^(-4))P)Exp[L+(ω^(-1))Q]] returns 𝔼[ω,L,Q,P], meaning 𝔼[G Exp[L+Q]] computes ω=(((G(Subscript[|, ϵ=0])))^(-1)) and returns 𝔼[ω,L,ω Q,(ω^5)(∂_ϵ)G,].

DP[P_, x_->(Subscript[D, α_]),y_->(Subscript[D, β_])][f_] := Total[CoefficientRules[P, {x,y}] /. ({m_,n_}->c_) :> c D[f,{α,m},{β,n}]]

𝔼 /: Simplify[𝔼[ω_,L_,Q_,P_]] := 𝔼[Expand@Together[ω/.(Subscript[b, l_]):>Log[(Subscript[t, l])]],Expand[L], Expand@Together[Q/.(Subscript[b, l_]):>Log[(Subscript[t, l])]], Expand@Together[P/.(Subscript[b, l_]):>Log[(Subscript[t, l])]]];
𝔼 /: 𝔼[ω1_,L1_,Q1_,P1_]≡𝔼[ω2_,L2_,Q2_,P2_] := (ω1==ω2∧L1==L2∧Q1==Q2∧P1==P2);
𝔼[G_.(E^(F_))] /; FreeQ[G,(E^(_))]:= With[{ω=(((G/.ϵ->0))^(-1))}, Simplify@𝔼[ω, F/.(Subscript[u, _])|(Subscript[w, _])|α|β->0, ω F/.(Subscript[c, _])->0, (ω^5)(∂_ϵ)G]];
𝔼[G_] /; FreeQ[G,(E^(_))]:= With[{ω=(((G/.ϵ->0))^(-1))}, Simplify@𝔼[ω, 0, 0, (ω^5)(∂_ϵ)G]];
𝔼[ℰ_]:=𝔼[Factor[ℰ]];

𝔼 /: 𝔼[ω1_,L1_,Q1_,P1_]𝔼[ω2_,L2_,Q2_,P2_] := Simplify@𝔼[ω1 ω2, L1+L2,ω2 Q1+ω1 Q2,((ω2)^4)P1+((ω1)^4)P2];

NO[(Subscript[u, i_]),(Subscript[c, j_]),k_][𝔼[ω_,L_,Q_,P_]] := 𝔼[1,L/.(Subscript[c, j])->0,(ω^(-1))Q/.(Subscript[u, i])->0,0](
𝔼[(ω^(-5)) DP[(ω^4)+ϵ P,(Subscript[c, j])->(Subscript[D, γ]),(Subscript[u, i])->(Subscript[D, β])][(E^((E^(-γ))β (Subscript[u, k])+γ (Subscript[c, k])))] /. {γ->(∂_(Subscript[c, j]))L,β->(ω^(-1))(∂_(Subscript[u, i]))Q}]);

NO[(Subscript[w, i_]),(Subscript[c, j_]),k_][𝔼[ω_,L_,Q_,P_]] := 𝔼[1,L/.(Subscript[c, j])->0,(ω^(-1))Q/.(Subscript[w, i])->0,0](
𝔼[(ω^(-5)) DP[(ω^4)+ϵ P,(Subscript[c, j])->(Subscript[D, γ]),(Subscript[w, i])->(Subscript[D, β])][(E^((E^γ)β (Subscript[w, k])+γ (Subscript[c, k])))] /. {γ->(∂_(Subscript[c, j]))L,β->(ω^(-1))(∂_(Subscript[w, i]))Q}]);

NO[(Subscript[w, i_]),(Subscript[u, j_]),k_][𝔼[ω_,L_,Q_,P_]] :=With[{q=(1-(Subscript[t, k]))ν α β+ν β (Subscript[u, k])+ν δ (Subscript[u, k])(Subscript[w, k])+ν α (Subscript[w, k])},
𝔼[1,L,(ω^(-1))Q/.(Subscript[w, i])|(Subscript[u, j])->0,0](
𝔼[ν (ω^(-5))DP[(ω^4)+ϵ P,(Subscript[w, i])->(Subscript[D, α]),(Subscript[u, j])->(Subscript[D, β])][(E^q)]+ϵ (ν^5)(ω^(-1))Λ (E^q)] /. {
ν->(((1+((Subscript[t, k])-1) δ))^(-1)),
 Λ->-(1/2) (-1+(Subscript[t, k])) ((α^2) (β^2)+4 α β δ (1+(-1+(Subscript[t, k])) δ)+2 (δ^2) (((1+(-1+(Subscript[t, k])) δ))^2))+2 (((1+(-1+(Subscript[t, k])) δ))^2) (α β+δ+(-1+(Subscript[t, k])) (δ^2)) (Subscript[c, k])-β (1+2 (-1+(Subscript[t, k])) δ) (α β+2 δ (1+(-1+(Subscript[t, k])) δ)) (Subscript[u, k])+2 β δ (((1+(-1+(Subscript[t, k])) δ))^2) (Subscript[c, k]) (Subscript[u, k])-(1/2) (β^2) δ (2+3 (-1+(Subscript[t, k])) δ) (Subscript[u, k]^2)+α (α β+2 δ (1+(-1+(Subscript[t, k])) δ)) (Subscript[w, k])+2 α δ (((1+(-1+(Subscript[t, k])) δ))^2) (Subscript[c, k]) (Subscript[w, k])-2 (-1+(Subscript[t, k])) (δ^2) (α β+δ (1+(-1+(Subscript[t, k])) δ)) (Subscript[u, k]) (Subscript[w, k])+2 (δ^2) (((1+(-1+(Subscript[t, k])) δ))^2) (Subscript[c, k]) (Subscript[u, k]) (Subscript[w, k])-β (δ^2) (1+2 (-1+(Subscript[t, k])) δ) (Subscript[u, k]^2) (Subscript[w, k])+(1/2) (α^2) δ (2+(-1+(Subscript[t, k])) δ) (Subscript[w, k]^2)+α (δ^2) (Subscript[u, k]) (Subscript[w, k]^2)-(1/2) (-1+(Subscript[t, k])) (δ^4) (Subscript[u, k]^2) (Subscript[w, k]^2)
} /. {α->(ω^(-1))((∂_(Subscript[w, i]))Q/.(Subscript[u, j])->0), β->(ω^(-1))((∂_(Subscript[u, j]))Q/.(Subscript[w, i])->0), δ->(ω^(-1))(∂_((Subscript[w, i]),(Subscript[u, j])))Q})];

m[i_,j_,kk_][Z_] :=Module[{x,y},
Z // ReplaceAll[{(Subscript[b, i|j])->(Subscript[b, kk]),(Subscript[t, i|j])->(Subscript[t, kk])}]// NO[(Subscript[w, i]),(Subscript[c, j]),x] // NO[(Subscript[w, x]),(Subscript[u, j]),y] // ReplaceAll[{(Subscript[c, x|y])->(Subscript[c, x]),(Subscript[w, j])->(Subscript[w, y])}] // NO[(Subscript[u, i]),(Subscript[c, x]),x] // ReplaceAll[{(Subscript[c, i|x])->(Subscript[c, kk]),(Subscript[u, x|y])->(Subscript[u, kk]),(Subscript[w, y])->(Subscript[w, kk]),(Subscript[b, x|y])->(Subscript[b, kk]),(Subscript[t, x|y])->(Subscript[t, kk])}] // Simplify]

Done line

Q0=𝔼[(E^((Subscript[u, 1]) (Subscript[w, 1])+ (Subscript[u, 2]) (Subscript[w, 3])))];
t1=Q0 // m[1,2,4]

Q0=𝔼[(E^((Subscript[u, 1]) (Subscript[w, 1])+ (Subscript[u, 3]) (Subscript[w, 2])))];

Q0=𝔼[Exp[Sum[(Subscript[a, i,j])(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])+(Subscript[l, i,j])(Subscript[b, i])(Subscript[c, j]),{i,3},{j,3}]]]

SeedRandom[6];
Q0=𝔼[Exp[Sum[RandomInteger[{-2,2}](Subscript[u, i])(Subscript[w, j])+RandomInteger[{-2,2}](Subscript[b, i])(Subscript[c, j]),{i,3},{j,3}]]]
t1=Q0 // m[1,2,4]//m[4,3,5]
t2=Q0 // m[2,3,4]//m[1,4,5]
t3=(t1≡t2)

Simplify[t3/. (Subscript[b, 5])->Log[(Subscript[t, 5])]]

Rp[1,2]Rm[4,3]

Rp[1,2]Rm[4,3] // m[1,4,1] // m[2,3,2]

Rm[1,2]Rp[4,3] // m[4,1,4]//m[2,3,2]

t1=Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6] // m[3,5,a]//m[1,6,b]//m[2,4,c]

t2=Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6]//m[1,3,a]//m[2,5,b]//m[4,6,c]

t1≡t2

t3=Rm[12,1]Rm[2,7]Rm[8,3]Rm[4,11]Rp[16,5]Rp[6,13]Rp[14,9]Rp[10,15]

t3//m[1,2,1]

t3//m[1,2,1]//m[1,3,1]

Do[t3=t3//m[1,kk,1], {kk, 2,16}]; t3

Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6] // m[1,4,4]//m[4,5,5]//m[5,2,2]//m[2,3,3]//m[3,6,6]//m[6,1,1]