Pensieve header: Normally Ordered Exponentials at 1-Co.

"NO” for “Normal Order”.

ϵ /: (ϵ^2):=0;
Λ[b_, c_,u_,w_,α_,β_,δ_,ν_]:=2 c w α δ ν+2 c u β δ ν+2 c u w (δ^2) ν+u (w^2) α (δ^2) (ν^3)-(1/2) b (u^2) (w^2) (δ^4) (ν^3)+(1/2) (w^2) (α^2) δ (2+b δ) (ν^3)-(u^2) w β (δ^2) (1+2 b δ) (ν^3)-(1/2) (u^2) (β^2) δ (2+3 b δ) (ν^3)+2 c (δ+α β ν)-2 b u w (δ^2) (ν^2) (δ+α β ν)+w α (ν^2) (2 δ+α β ν)-u β (1+2 b δ) (ν^2) (2 δ+α β ν)-(1/2) b ν (2 (δ^2)+4 α β δ ν+(α^2) (β^2) (ν^2));

Simp[P_.𝔼[Q_]] := Together[P]𝔼[Together[Q]];
P1_.𝔼[Q1_] ≡ P2_.𝔼[Q2_] := Simplify[P1==P2∧Q1==Q2];

𝔼 /: 𝔼[Q1_]𝔼[Q2_] := Simp@𝔼[Q1+Q2]

NO[(Subscript[u, i_]),(Subscript[c, j_]),k_][P_.𝔼[Q_]] := Simp@Module[{α=(∂_(Subscript[c, j]))Q,β=(∂_(Subscript[u, i]))Q, Θ=Q/.(Subscript[c, j])|(Subscript[u, i])->0},
(P /. {(Subscript[c, j])->-(E^(-α))β (Subscript[u, k])+(Subscript[c, k]),(Subscript[u, i])->(E^(-α))(Subscript[u, k])})𝔼[(E^(-α))β (Subscript[u, k])+α (Subscript[c, k])+Θ]
];
NO[(Subscript[w, i_]),(Subscript[c, j_]),k_][P_.𝔼[Q_]] := Simp@Module[{α=(∂_(Subscript[c, j]))Q,β=(∂_(Subscript[w, i]))Q, Θ=Q/.(Subscript[c, j])|(Subscript[w, i])->0},
(P /. {(Subscript[c, j])->(E^α)β (Subscript[u, k])+(Subscript[c, k]),(Subscript[w, i])->(E^α)(Subscript[w, k])}) 𝔼[(E^α)β (Subscript[w, k])+α (Subscript[c, k])+Θ]
];
NO[(Subscript[w, i_]),(Subscript[u, j_]),k_][P_.𝔼[Q_]] := Simp@Module[{α=(∂_(Subscript[w, i]))Q/.(Subscript[u, j])->0, β=(∂_(Subscript[u, j]))Q/.(Subscript[w, i])->0, δ=(∂_((Subscript[w, i]),(Subscript[u, j])))Q,Θ=Q/.(Subscript[w, i])|(Subscript[u, j])->0,ν},
ν=(((1+(Subscript[b, k]) δ))^(-1));
Expand[(P/.{(Subscript[w, i])->-(Subscript[b, k])ν β+ν (Subscript[w, k]),(Subscript[u, j])->-(Subscript[b, k])ν α+ν (Subscript[u, k])})ν(1+ϵ ν Λ[(Subscript[b, k]),(Subscript[c, k]), (Subscript[u, k]), (Subscript[w, k]), α,β,δ,ν]) ]𝔼[-(Subscript[b, k])ν α β+ν β (Subscript[u, k])+ν δ (Subscript[u, k])(Subscript[w, k])+ν α (Subscript[w, k]) +Θ]
];

m[i_,j_,kk_][Z_] :=Simp@Module[{x,y},
Z // ReplaceAll[(Subscript[b, i|j])->(Subscript[b, kk])]// NO[(Subscript[w, i]),(Subscript[c, j]),x] // NO[(Subscript[w, x]),(Subscript[u, j]),y] // ReplaceAll[{(Subscript[c, x|y])->(Subscript[c, x]),(Subscript[w, j])->(Subscript[w, y])}] // NO[(Subscript[u, i]),(Subscript[c, x]),x] // ReplaceAll[{(Subscript[c, i|x])->(Subscript[c, kk]),(Subscript[u, x|y])->(Subscript[u, kk]),(Subscript[w, y])->(Subscript[w, kk]),(Subscript[b, x|y])->(Subscript[b, kk])}]
]

Rp[i_,j_]:=𝔼[(Subscript[b, i])(Subscript[c, j])+(((E^(Subscript[b, i]))-1)/(Subscript[b, i]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])];
Rm[i_,j_]:=𝔼[-(Subscript[b, i])(Subscript[c, j])+(((E^(-(Subscript[b, i])))-1)/(Subscript[b, i]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])];

NO[(Subscript[u, 1]),(Subscript[c, 1]),1][𝔼[(Subscript[b, 2])(Subscript[c, 1])+(Subscript[w, 2])(Subscript[u, 1])+(Subscript[u, 3])(Subscript[w, 4])]]

Q0=𝔼[Sum[(Subscript[β, i])(Subscript[c, i]),{i,3}]+Sum[(Subscript[α, i,j])(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),{i,3},{j,3}]]

Q0=𝔼[0Sum[RandomInteger[{-2,2}](Subscript[c, i]),{i,3}]+Sum[RandomInteger[{-2,2}](Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),{i,3},{j,3}]]

Q0=𝔼[ (Subscript[u, 2]) (Subscript[w, 1])+ (Subscript[u, 3]) (Subscript[w, 3])];
t1=Q0 // m[1,2,4]//m[4,3,5]
t2=Q0 // m[2,3,4]//m[1,4,5]
t1≡t2
t1≡t2 // Simplify

t1=Q0 // m[1,2,1]

(((1+(Subscript[b, 5])))^4)//Expand

t1=Q0 // m[1,2,1]//m[1,3,1]

t2=Q0 // m[2,3,2]//m[1,2,1]

t1≡t2 // Simplify

t1≡t2 /. ϵ->0

(Q0 // m[1,2,4]) /. (Subscript[x_, 4]):>(Subscript[x, 1])

Q0 // m[1,2,1]//m[1,3,9]

Q0 // m[1,2,1]//m[1,3,1]

t1=Q0 // m[1,2,4]//m[4,3,1]

t2=Q0 // m[2,3,4]//m[1,4,1]

t1≡t2

Rp[1,2]Rm[4,3]

Rp[1,2]Rm[4,3] // m[1,4,1] // m[2,3,2]

Rm[1,2]Rp[4,3] // m[4,1,4]//m[2,3,2]

t1=Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6] // m[3,5,a]//m[1,6,b]//m[2,4,c]

t2=Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6]//m[1,3,a]//m[2,5,b]//m[4,6,c]

t1≡t2

t3=Rm[12,1]Rm[2,7]Rm[8,3]Rm[4,11]Rp[16,5]Rp[6,13]Rp[14,9]Rp[10,15]

t3//m[1,2,1]

t3//m[1,2,1]//m[1,3,1]

Do[t3=t3//m[1,kk,1], {kk, 2,16}]; t3

Rp[1,2]Rp[3,4]Rp[5,6] // m[1,4,4]//m[4,5,5]//m[5,2,2]//m[2,3,3]//m[3,6,6]//m[6,1,1]