Pensieve header: Normally Ordered Exponentials at 0-Co.

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\OneCo-1606"];

"NO” for “Normal Order”.

Lg/:Lg[a_]+Lg[b_]:=Lg[Simplify[a b]]

NO[(Subscript[u, i_]),(Subscript[c, j_]),k_][Q_] := Module[{α=(∂_(Subscript[c, j]))Q,β=(∂_(Subscript[u, i]))Q}, (E^(-α))β (Subscript[u, k])+(Q /. {(Subscript[u, i])->0,(Subscript[c, j])->(Subscript[c, k])})];
NO[(Subscript[w, i_]),(Subscript[c, j_]),k_][Q_] := Module[{α=(∂_(Subscript[c, j]))Q,β=(∂_(Subscript[w, i]))Q}, (E^α)β (Subscript[w, k])+(Q /. {(Subscript[w, i])->0,(Subscript[c, j])->(Subscript[c, k])})];
NO[(Subscript[w, i_]),(Subscript[u, j_]),k_][Q_] := Module[{α=(∂_(Subscript[w, i]))Q/.(Subscript[u, j])->0, β=(∂_(Subscript[u, j]))Q/.(Subscript[w, i])->0, δ=(∂_((Subscript[w, i]),(Subscript[u, j])))Q,ν},
ν=(((1+(Subscript[b, k]) δ))^(-1));
(Q/.(Subscript[w, i])|(Subscript[u, j])->0)+(Lg[ν]-(Subscript[b, k])ν α β+ν β (Subscript[u, k])+ν δ (Subscript[u, k])(Subscript[w, k])+ν α (Subscript[w, k]) /. {(Subscript[w, i])->(Subscript[w, k]),(Subscript[u, j])->(Subscript[u, k])})
];

NO[(Subscript[u, 1]),(Subscript[c, 1]),1][(Subscript[b, 2])(Subscript[c, 1])+(Subscript[w, 2])(Subscript[u, 1])+(Subscript[u, 3])(Subscript[w, 4])]

NO[(Subscript[w, 2]),(Subscript[u, 1]),0][(Subscript[b, 2])(Subscript[c, 1])+(Subscript[w, 2])(Subscript[u, 1])+(Subscript[u, 3])(Subscript[w, 4])]

m[i_,j_,k_][Q_] :=Module[{a},(Q /. (Subscript[b, i|j])->(Subscript[b, k]) // NO[(Subscript[w, i]),(Subscript[c, j]),a]//NO[(Subscript[u, i]),(Subscript[c, a]),a]//NO[(Subscript[w, a]),(Subscript[u, j]),a]) /. {(Subscript[c, i])->(Subscript[c, k]),(Subscript[w, j])->(Subscript[w, k]),(Subscript[y_, a]):>(Subscript[y, k])}]

Q0=Sum[(Subscript[β, i])(Subscript[c, i]),{i,3}]+Sum[(Subscript[α, i,j])(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),{i,3},{j,3}]

Q0 // m[1,2,1]

Q0//NO[(Subscript[w, 1]),(Subscript[u, 2]),3]

t1=Q0 // m[1,2,1]//m[1,3,1] // Simplify

t2=Q0 // m[2,3,2]//m[1,2,1] // Simplify

Simplify[t1-t2]

Table[(Subscript[α, i,j])->(Coefficient[t1-t2,(Subscript[α, i,j])]/. (Subscript[α, __])->0)//Simplify, {i,3},{j,3}]