SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\2023-01"]

t\[Conjugate]^:=(t^(-1))

a\[Conjugate]

a\[Conjugate] /. a->1+(t^3)

⟨c_,d_⟩:=Simplify@Module[{f},
Expand[c(d/.{t->t\[Conjugate],(Subscript[e, j_]):>(Subscript[f, j])})]/.(Subscript[e, i_])(Subscript[f, j_]):>(Piecewise[{{(t-t\[Conjugate]), i==j}, {a, i<j}, {-a\[Conjugate], i>j}}])
];

Clear[a];a=t-1;
c1=(Subscript[e, 1])-t (Subscript[e, 3])+(t-1)(Subscript[e, 4]);
c2=(Subscript[e, 2])-(Subscript[e, 4]);
(({{⟨c1,c1⟩, ⟨c1,c2⟩}, {⟨c2,c1⟩, ⟨c2,c2⟩}}))//MatrixForm

c1=(Subscript[e, 2])-t (Subscript[e, 4])+(t-1)(Subscript[e, 1]);
c2=(Subscript[e, 3])-(Subscript[e, 1]);
(({{⟨c1,c1⟩, ⟨c1,c2⟩}, {⟨c2,c1⟩, ⟨c2,c2⟩}}))//MatrixForm

c1=(Subscript[e, 1])- (Subscript[e, 3]);
c2=(Subscript[e, 2])+((t^(-1))-1)(Subscript[e, 3])-(t^(-1))(Subscript[e, 4]);
(({{⟨c1,c1⟩, ⟨c1,c2⟩}, {⟨c2,c1⟩, ⟨c2,c2⟩}}))//MatrixForm

c1=(Subscript[e, 1])-(Subscript[e, 2]);
c2=(Subscript[e, 3])-(Subscript[e, 4]);
(({{⟨c1,c1⟩, ⟨c1,c2⟩}, {⟨c2,c1⟩, ⟨c2,c2⟩}}))//MatrixForm

c1=(Subscript[e, 1])-(Subscript[e, 4]);
c2=(Subscript[e, 2])-(Subscript[e, 3]);
(({{⟨c1,c1⟩, ⟨c1,c2⟩}, {⟨c2,c1⟩, ⟨c2,c2⟩}}))//MatrixForm