Pensieve header: An attempt on the rank 2 ($sl_3$) Gassner representation.

(Subscript[G, i_,j_])[ℰ_]:=Expand[ℰ/.{
(Subscript[e, j]):>(E^(Subscript[t, i]))(Subscript[e, j])+(1-(E^(Subscript[t, i])))(Subscript[e, i])
}];
bas={(Subscript[e, 1]),(Subscript[e, 2]),(Subscript[e, 3])};
lhs=bas//(Subscript[G, 1,2])//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 2,3]);
rhs=bas//(Subscript[G, 2,3])//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 1,2])
Simplify@Thread[lhs==rhs]

(Subscript[R2G, i_,j_])[ℰ_]:=Expand[ℰ/.{
(Subscript[e, j]):>(E^(Subscript[t, i]))(Subscript[e, j])+(1-(E^(Subscript[t, i])))(Subscript[e, i]),
(Subscript[f, j]):>(E^(Subscript[s, i]))(Subscript[f, j])+(1-(E^(Subscript[s, i])))(Subscript[f, i]),
(Subscript[g, j]):>(E^((Subscript[t, i])+(Subscript[s, i])))(Subscript[g, j])+(1-(E^((Subscript[t, i])+(Subscript[s, i]))))(Subscript[g, i])+((Subscript[a, i]))(Subscript[e, i])((Subscript[f, j])+(Subscript[c, i])(Subscript[f, i]))+((Subscript[b, i]))(Subscript[f, i])((Subscript[e, j])+(Subscript[d, i])(Subscript[e, i]))
}];
bas={(Subscript[e, 1]),(Subscript[e, 2]),(Subscript[e, 3]),(Subscript[f, 1]),(Subscript[f, 2]),(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 3]),(Subscript[g, 1]),(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])};
lhs=bas//(Subscript[R2G, 1,2])//(Subscript[R2G, 1,3])//(Subscript[R2G, 2,3]);
rhs=bas//(Subscript[R2G, 2,3])//(Subscript[R2G, 1,3])//(Subscript[R2G, 1,2])
Thread[bas->Expand[lhs-rhs]]//DeleteCases[_->0]//Column
diff=Simplify[Last[lhs-rhs]/.{(Subscript[a, i_]):>(E^(Subscript[s, i])) (-1+(E^(Subscript[t, i]))),(Subscript[b, i_]):>(E^(Subscript[t, i])) (-1+(E^(Subscript[s, i]))),(Subscript[(c|d), _])->-1}]
Table[Factor[Coefficient[diff,β]/.(Subscript[(e|f|g), _])->0], {β,bas}]//DeleteCases[0]//Column

(Subscript[R2G, i_,j_])[ℰ_]:=Expand[ℰ/.{
(Subscript[e, j]):>(Subscript[T, i])(Subscript[e, j])+(1-(Subscript[T, i]))(Subscript[e, i]),(Subscript[f, j]):>(Subscript[S, i])(Subscript[f, j])+(1-(Subscript[S, i]))(Subscript[f, i]),
(Subscript[g, j]):>(Subscript[T, i])(Subscript[S, i])(Subscript[g, j])+(1-(Subscript[T, i])(Subscript[S, i]))(Subscript[g, i])
+((Subscript[S, i])+(Subscript[T, i])-2(Subscript[S, i])(Subscript[T, i]))(Subscript[e, i])(Subscript[f, i])+(Subscript[S, i])((Subscript[T, i])-1)(Subscript[e, i])(Subscript[f, j])+(Subscript[T, i])((Subscript[S, i])-1)(Subscript[e, j])(Subscript[f, i])}]

bas={(Subscript[e, 1]),(Subscript[e, 2]),(Subscript[e, 3]),(Subscript[f, 1]),(Subscript[f, 2]),(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 3]),(Subscript[g, 1]),(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])};
lhs=bas//(Subscript[R2G, 1,2])//(Subscript[R2G, 1,3])//(Subscript[R2G, 2,3]);
rhs=bas//(Subscript[R2G, 2,3])//(Subscript[R2G, 1,3])//(Subscript[R2G, 1,2])
lhs==rhs

Satisfies OC:

lhs=bas//(Subscript[R2G, 1,2])//(Subscript[R2G, 1,3])
rhs=bas//(Subscript[R2G, 1,3])//(Subscript[R2G, 1,2]);
lhs==rhs

Lower Rank 2 Gassner:

{(Subscript[e, j]):>(Subscript[T, i])(Subscript[e, j])+(1-(Subscript[T, i]))(Subscript[e, i]), (Subscript[f, j]):>(Subscript[S, i])(Subscript[f, j])+(1-(Subscript[S, i]))(Subscript[f, i]),
(Subscript[g, j]):>(Subscript[T, i])(Subscript[S, i])(Subscript[g, j])+(1-(Subscript[T, i])(Subscript[S, i]))(Subscript[g, i])+(Subscript[S, i]) ((Subscript[T, i])-1)(Subscript[e, i])((Subscript[f, j])-(Subscript[f, i]))+(Subscript[T, i]) ((Subscript[S, i])-1)(Subscript[f, i])((Subscript[e, j])-(Subscript[e, i])) } /. {i->j,j->i}

(Subscript[LR2G, i_,j_])[ℰ_]:=Expand[ℰ/.{(Subscript[e, i]):>(Subscript[T, j]) (Subscript[e, i])+(1-(Subscript[T, j])) (Subscript[e, j]),(Subscript[f, i]):>(Subscript[S, j]) (Subscript[f, i])+(1-(Subscript[S, j])) (Subscript[f, j]),
(Subscript[g, i]):>(Subscript[T, j]) (Subscript[S, j]) (Subscript[g, i])+(1-(Subscript[T, j]) (Subscript[S, j])) (Subscript[g, j])
+(Subscript[e, j]) (Subscript[f, j]) ((Subscript[S, j])+(Subscript[T, j])-2 (Subscript[S, j]) (Subscript[T, j]))+(Subscript[e, j]) (Subscript[f, i]) (-(Subscript[S, j])+(Subscript[S, j]) (Subscript[T, j]))+(Subscript[e, i]) (Subscript[f, j]) (-(Subscript[T, j])+(Subscript[S, j]) (Subscript[T, j]))}];
(Subscript[(OverBar[LR2G]), i_,j_])[ℰ_]:=Expand[ℰ/.{(Subscript[e, i]):>(Subscript[T, j]^(-1)) (Subscript[e, i])+(1-(Subscript[T, j]^(-1))) (Subscript[e, j]),(Subscript[f, i]):>(Subscript[S, j]^(-1)) (Subscript[f, i])+(1-(Subscript[S, j]^(-1))) (Subscript[f, j]),
(Subscript[g, i]):>(Subscript[T, j]^(-1)) (Subscript[S, j]^(-1)) (Subscript[g, i])+(1-(Subscript[T, j]^(-1)) (Subscript[S, j]^(-1))) (Subscript[g, j])+(Subscript[e, j]) (Subscript[f, j]) ((Subscript[S, j]^(-1))+(Subscript[T, j]^(-1))-2(Subscript[T, j]^(-1))(Subscript[S, j]^(-1)))+(Subscript[e, j]) (Subscript[f, i]) (-(Subscript[S, j]^(-1))+(Subscript[T, j]^(-1))(Subscript[S, j]^(-1)))+(Subscript[e, i]) (Subscript[f, j]) (-(Subscript[T, j]^(-1))+(Subscript[S, j]^(-1))(Subscript[T, j]^(-1)))}];
bas={(Subscript[e, 1]),(Subscript[e, 2]),(Subscript[e, 3]),(Subscript[f, 1]),(Subscript[f, 2]),(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 1])(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 2])(Subscript[f, 3]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 1]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 2]),(Subscript[e, 3])(Subscript[f, 3]),(Subscript[g, 1]),(Subscript[g, 2]),(Subscript[g, 3])};
(bas//(Subscript[LR2G, 1,2])//(Subscript[(OverBar[LR2G]), 1,2]))==bas
(bas//(Subscript[LR2G, 3,2])//(Subscript[(OverBar[LR2G]), 3,2]))==bas
lhs=bas//(Subscript[LR2G, 1,2])//(Subscript[LR2G, 1,3])//(Subscript[LR2G, 2,3]);
rhs=bas//(Subscript[LR2G, 2,3])//(Subscript[LR2G, 1,3])//(Subscript[LR2G, 1,2]);
lhs==rhs