Pensieve header: Exponentiation in  ybax algebras.

Startup

Date[]
SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\FullDoPeGDO"];
Once[<<KnotTheory`];
Once[Get@"../Profile/Profile.m"];
BeginProfile[];
$k=1;
<<Engine.m
<<Objects.m
<<KT.m
HL[ℰ_] := Style[ℰ, Background -> If[TrueQ@ℰ,,]];

Exponentials

Task. Define  (Subscript[Exp, m])[(Subscript[𝕌, {___}->{i_}])[U__]] to compute (e^(𝕆(U))) to order (ϵ^(Length@{U}-1)) using the (Subscript[m, i,i->i]) multiplication, where U is an ϵ-dependent near-docile element, giving the answer in 𝔼-form.
Example: (Subscript[Exp, dm,1])[(Subscript[𝕌, {}->{2}])[(Subscript[b, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[y, 2])(Subscript[x, 2]),0]] is the exponential of the arrow on strand 2, computed to degree 1.

m=dm;i=2; U=Sequence[(Subscript[b, 2])(Subscript[a, 2])+(Subscript[y, 2])(Subscript[x, 2]),0]

F[λ_,i_]:=(Subscript[𝔼, {}->{i}])[(Subscript[f, 1])[λ]+(Subscript[f, 2])[λ](Subscript[a, i])+(Subscript[f, 3])[λ](Subscript[x, i])+(Subscript[f, 4])[λ](Subscript[y, i])+(Subscript[f, 5])[λ](Subscript[x, i])(Subscript[y, i])];
F[λ,i]
F[μ,j]

l1=((∂_μ)List@@(F[λ,i]F[μ,j]//(Subscript[m, i,j->i])))/.μ->0

r1=((∂_μ)List@@F[λ+μ,i])/.μ->0

eqs1=And@@((#==0)&/@Flatten@CoefficientList[l1-r1, {(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i]),(Subscript[y, i])}])/.(Subscript[f, _])[0]->0

l2=Take[{U},1]

r2=((∂_μ)List@@F[μ,i])/.μ->0

eqs2=And@@((#==0)&/@Flatten@CoefficientList[l2-r2, {(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i]),(Subscript[y, i])}])

eqs3=eqs1/.{(Subscript[f, 5])'[0]->1,(Subscript[f, 2])'[0]->(Subscript[b, 2]),(Subscript[f, _])'[0]->0}

DSolve[(Subscript[f, 1])[0]==0∧(Subscript[f, 2])[0]==0∧(Subscript[f, 3])[0]==0∧(Subscript[f, 4])[0]==0∧(Subscript[f, 5])[0]==0∧eqs3,{(Subscript[f, 1])[λ],(Subscript[f, 2])[λ],(Subscript[f, 3])[λ],(Subscript[f, 4])[λ],(Subscript[f, 5])[λ]},λ]

ans=FullSimplify[(Subscript[f, 5])[λ]/.DSolve[-(Subscript[b, 2]) (Subscript[f, 5])[λ]-(((E^(-λ (Subscript[b, 2]))) (-ℏ-(E^(λ (Subscript[b, 2]))) (Subscript[f, 5])[λ]+(E^(λ (Subscript[b, 2]))) (Subscript[B, 2]) (Subscript[f, 5])[λ]))/ℏ)-(Subscript[f, 5])'[λ]==0∧(Subscript[f, 5])[0]==0,(Subscript[f, 5])[λ],λ]]

FullSimplify[ans/.(Subscript[b, 2])->0]