Pensieve header: Exponentiation in  ybax algebras (old code and attempt on $k=0$ exponentiation using a matrix representation).

Startup

Date[]
SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\Projects\\FullDoPeGDO"];
Once[<<KnotTheory`];
Once[Get@"../Profile/Profile.m"];
BeginProfile[];
$k=1;
<<Engine.m
<<Objects.m
<<KT.m

$k=2; (*ℏ=γ=1;*)

HL[ℰ_] := Style[ℰ, Background -> If[TrueQ@ℰ,,]];

(* Bug: The first line is valid only if 𝕆((E^(Subscript[P, 0])))==(E^(𝕆((Subscript[P, 0])))). *)
(Subscript[Exp, m_,i_,0])[P_]:=Module[{LQ=Normal@P /. ϵ->0},
𝔼[LQ/.(Subscript[(x|y), i])->0, LQ/.(Subscript[(b|a|t), i])->0,1] ];

(Subscript[Exp, m_,i_,k_])[P_]:=Block[{$k=k},
Module[{P0,λ,φ,φs,F,j,rhs,eqn,pows,at0,atλ},
P0=Normal@P /. ϵ->0;
F=Normal@Last@(Subscript[Exp, m,i,k-1])[λ P];
While[
rhs=(Subscript[m, i,j->i])[(Subscript[(Subscript[𝔼, {}->{i}])[λ P0/.(Subscript[(x|y), i])->0,λ P0/.(Subscript[(b|a|t), i])->0, F], k])(Subscript[sσ, i->j])@(Subscript[(Subscript[𝔼, {}->{i}])[0,0,P], k])]//Last//Normal;
eqn=CF[((∂_λ)F)+P0 F-rhs];
eqn=!=0,(*do*)
pows=First/@CoefficientRules[eqn,{(Subscript[y, i]),(Subscript[b, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}];
F+=Sum[(ϵ^k)(Subscript[φ, js])[λ]Times@@(({(Subscript[y, i]),(Subscript[b, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])})^js),{js,pows}];
rhs=(Subscript[m, i,j->i])[(Subscript[(Subscript[𝔼, {}->{i}])[λ P0/.(Subscript[(x|y), i])->0,λ P0/.(Subscript[(b|a|t), i])->0, F], k])(Subscript[sσ, i->j])@(Subscript[(Subscript[𝔼, {}->{i}])[0,0,P], k])]//Last//Normal;
eqn=CF[((∂_λ)F)+P0 F-rhs];
φs=Table[(Subscript[φ, js])[λ],{js,pows}];
at0=Table[(Subscript[φ, js])[0]==0,{js,pows}];
atλ=(#==0)&/@(pows/.CoefficientRules[eqn,{(Subscript[y, i]),(Subscript[b, i]),(Subscript[a, i]),(Subscript[x, i])}]);
F=F/. DSolve[And@@(at0⋃atλ),φs,λ][[1]]
];
(Subscript[𝔼, {}->{i}])[P0/.(Subscript[(x|y), i])->0,P0/.(Subscript[(b|a|t), i])->0, F+((O[ϵ])^(k+1))/.λ->1]] ]

Exponentials

Task. Define  (Subscript[Exp, m,k])[(Subscript[𝕌, {___}->{i_}])[U__]] to compute (e^(𝕆(U))) to order (ϵ^k) using the (Subscript[m, i,i->i]) multiplication, where U is an ϵ-dependent near-docile element, giving the answer in 𝔼-form.
Methodology. If (Subscript[U, 0]):=(Subscript[U, ϵ=0]) and (e^(λ 𝕆(U)))=𝕆((e^(λ (Subscript[U, 0])))F(λ)), then F(λ=0)=1 and we have:
𝕆((e^(λ (Subscript[U, 0])))((Subscript[U, 0])F(λ)+(∂_λ)F))=𝕆((∂_λ)(e^(λ (Subscript[U, 0])))F(λ))=(∂_λ)𝕆((e^(λ (Subscript[U, 0])))F(λ))=(∂_λ)(e^(λ 𝕆(U)))=(e^(λ 𝕆(U)))𝕆(U)=𝕆((e^(λ (Subscript[U, 0])))F(λ))𝕆(U).
This is a linear ODE for F. Setting inductively (Subscript[F, k])=(Subscript[F, k-1])+(ϵ^k)φ we find that (Subscript[F, 0])=1 and solve for φ.

ME=MatrixExp;b[A_,B_]:=A.B-B.A;
{ρ0=(({{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}}));ρy=(({{0, 1, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}})),ρb=(({{0, 0, -1}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0}})),ρa=(({{0, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 0}})),ρx=(({{0, 0, 0}, {0, 0, 1}, {0, 0, 0}})),ρxy=(({{b, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, b}}))};
HL/@{b[ρa,ρx]==ρx, b[ρa,ρy]==-ρy,b[ρb,ρy]==ρ0, b[ρb,ρx]==ρ0,b[ρx,ρy]==ρb,
b[ρxy,ρx]==-b ρx, b[ρxy,ρy]==b ρy, b[ρxy,ρa]==ρ0, b[ρxy,ρb]==ρ0}

MatrixForm[lhs=ME[(Subscript[c, 1])ρy+(Subscript[c, 2])ρb+(Subscript[c, 3])ρa+(Subscript[c, 4])ρx]]
MatrixForm[
rhs=ME[(Subscript[d, 1])ρy].ME[(Subscript[d, 2])ρb].ME[(Subscript[d, 3])ρa].ME[(Subscript[d, 4])ρx] /. {(Subscript[d, 1])->(((1-(E^(-(Subscript[c, 3])))) (Subscript[c, 1]))/(Subscript[c, 3])),(Subscript[d, 2])->(Subscript[c, 2])+(Subscript[c, 1])(Subscript[c, 4])(((E^(-(Subscript[c, 3])))-1+(Subscript[c, 3]))/(Subscript[c, 3]^2)),(Subscript[d, 3])->(Subscript[c, 3]),(Subscript[d, 4])->(((1-(E^(-(Subscript[c, 3])))) (Subscript[c, 4]))/(Subscript[c, 3]))}
]
HL@Simplify[lhs==rhs]

MatrixForm[lhs=ME[(Subscript[c, 1])ρy+(Subscript[c, 2])ρb+(Subscript[c, 3])ρa+(Subscript[c, 4])ρx+(Subscript[c, 5])ρxy]]
MatrixForm[
rhs=ME[(Subscript[d, 1])ρy].ME[(Subscript[d, 2])ρb].ME[(Subscript[d, 3])ρa].ME[(Subscript[d, 4])ρx].ME[(Subscript[d, 5])ρxy] /. {(Subscript[d, 1])->(((1-(E^(-(Subscript[c, 3])+b (Subscript[c, 5])))) (Subscript[c, 1]))/((Subscript[c, 3])-b (Subscript[c, 5]))),(Subscript[d, 2])->(Subscript[c, 2])+(((E^(-(Subscript[c, 3]))) (Subscript[c, 1]) (Subscript[c, 4]) ((E^(b (Subscript[c, 5])))+(E^(Subscript[c, 3])) (-1+(Subscript[c, 3])-b (Subscript[c, 5]))))/((((Subscript[c, 3])-b (Subscript[c, 5])))^2)),(Subscript[d, 3])->(Subscript[c, 3]),(Subscript[d, 4])->-((((E^(-(Subscript[c, 3])))-(E^(-b (Subscript[c, 5])))) (Subscript[c, 4]))/((Subscript[c, 3])-b (Subscript[c, 5]))),(Subscript[d, 5])->(Subscript[c, 5])}
]
HL@Simplify[lhs==rhs]