Gamma calculus for singular knots, does it match Fiedler’s old paper generalizing the Kauffman-state approach to long singular knots?

Γ/:Γ[ω1_,A1_]Γ[ω2_,A2_]:=Γ[ω1 ω2,A1+ A2]
Γ/:Γ[ω1_,A1_]≡Γ[ω2_,A2_]:=Simplify[ω1 -ω2==0&&A1- A2==0]
ΓCollect[Γ[ω_,A_]]:=Γ[Simplify[ω]//Expand,Collect[A,(Subscript[r, _]),Collect[#,(Subscript[c, _]),Factor]&]]
ΓFormat[Γ[ω_,A_]]:=Module[{S,M},
S=Union@Cases[Γ[ω,A],(Subscript[(r|c), a_]):> a,Infinity];
M=Outer[Factor[(∂_((Subscript[c, #1]),(Subscript[r, #2])))A]&,S,S];
M=Prepend[M,(Subscript[r, #])&/@S]//Transpose;
M=Prepend[M,Prepend[(Subscript[c, #])&/@S,ω]];
M//MatrixForm
]
(Subscript[X, a_,b_]):=Γ[1,(Subscript[r, a])(Subscript[c, a])+(1-t)(Subscript[r, a])(Subscript[c, b])+t (Subscript[r, b])(Subscript[c, b])]
(Subscript[(OverBar[X]), a_,b_]):=(Subscript[X, a,b])/.t->(t^(-1))
(Subscript[m, a_,b_->k_])[Γ[ω_,A_]]:=Γ[(μ=1-(∂_(Subscript[r, a]))(∂_(Subscript[c, b]))A)ω,A+((∂_(Subscript[r, a]))A)((∂_(Subscript[c, b]))A)/μ]/.{((Subscript[c, b])|(Subscript[r, a]))->0,(Subscript[c, a])->(Subscript[c, k]),(Subscript[r, b])->(Subscript[r, k])}//ΓCollect

(Subscript[S, a_,b_]):=Γ[1,e (Subscript[c, a]) (Subscript[r, a])+(1-e t) (Subscript[c, b]) (Subscript[r, a])+(1-e) (Subscript[c, a]) (Subscript[r, b])+e t (Subscript[c, b]) (Subscript[r, b])]

Finding the value of the singular crossing (Subscript[SS, a,b]) in Gamma calculus by the method of undetermined coefficients:

(Subscript[SS, a_,b_]):=Γ[1,e (Subscript[r, a])(Subscript[c, a])+f (Subscript[r, a])(Subscript[c, b])+g (Subscript[r, b])(Subscript[c, a])+ h (Subscript[r, b])(Subscript[c, b])]
{sol}=Solve[Thread[Join[Flatten@Table[Coefficient[((Subscript[SS, 1,2])(Subscript[X, 3,4])//(Subscript[m, 1,4->5])//(Subscript[m, 2,3->6]))[[2]]-
((Subscript[SS, 1,2])(Subscript[X, 3,4])//(Subscript[m, 4,1->6])//(Subscript[m, 3,2->5]))[[2]],(Subscript[r, v])(Subscript[c, w])],{v,{5,6}},{w,{5,6}}],
Flatten@Table[Coefficient[((Subscript[SS, 1,2])(Subscript[(OverBar[X]), 3,4])(Subscript[X, 5,6])//(Subscript[m, 1,6->1])//(Subscript[m, 4,2->2])//(Subscript[m, 5,3->3]))[[2]]-
((Subscript[SS, 1,2])(Subscript[X, 3,4])(Subscript[(OverBar[X]), 5,6])//(Subscript[m, 4,1->1])//(Subscript[m, 2,6->2])//(Subscript[m, 5,3->3]))[[2]],(Subscript[r, v])(Subscript[c, w])],{v,{1,2,3}},{w,{1,2,3}}],
Flatten@Table[Coefficient[((Subscript[SS, 1,2])(Subscript[X, 4,3])(Subscript[(OverBar[X]), 6,5])//(Subscript[m, 1,6->1])//(Subscript[m, 4,2->2])//(Subscript[m, 5,3->3]))[[2]]-
((Subscript[SS, 1,2])(Subscript[(OverBar[X]), 4,3])(Subscript[X, 6,5])//(Subscript[m, 4,1->1])//(Subscript[m, 2,6->2])//(Subscript[m, 5,3->3]))[[2]],(Subscript[r, v])(Subscript[c, w])],{v,{1,2,3}},{w,{1,2,3}}]
]==0],{e,f,g,h}]
(Subscript[SS, a,b])/.sol // ΓFormat

(* We call the general solution (Subscript[S, a,b]).
Notice e=1 is the positive crossing, the negative crossing does not appear but its transpose does when e = (t^(-1))*)

(Subscript[SS, a,b])/.sol 
{((Subscript[S, a,b])/.e->1)≡(Subscript[X, a,b]),((Subscript[S, a,b])/.e->(t^(-1)))≡(Subscript[(OverBar[X]), b,a])}

(Subscript[S, 1,2])//(Subscript[m, 1,2->1])

(Subscript[S, 1,2])(Subscript[S, 3,4])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 1,4->1]) 
(Subscript[S, 4,1])(Subscript[S, 2,3])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 1,4->1]) 
(Subscript[S, 1,3])(Subscript[S, 4,2])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 1,4->1])

(Subscript[S, 1,4])(Subscript[S, 5,2])(Subscript[X, 3,6])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 1,5->1])//(Subscript[m, 1,6->1])

(Subscript[S, 1,2])(Subscript[S, 3,4])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,3->2])

(Subscript[S, 1,4])(Subscript[X, 5,2])(Subscript[X, 3,6])//(Subscript[m, 1,2->1])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 1,5->1])//(Subscript[m, 1,6->1])

Z=(Subscript[X, 8,1])(Subscript[S, 2,5])(Subscript[(OverBar[X]), 10,3])(Subscript[(OverBar[X]), 4,9])(Subscript[X, 6,11])(Subscript[X, 12,7]); (*knot?*)
Do[Z=Z//(Subscript[m, 1,k->1]),{k,2,12}];Z