Pensieve header: An implementation of the simplest invariant of Fiedler’s arXiv:2211.10734, Polynomial Invariants Which Can Distinguish the Orientations of Knots.

Fi[(Subscript[X, i_,j_])]:=𝔽[
{(Subscript[t, i]),(Subscript[t, j]),(Subscript[h, i]),(Subscript[h, j])}, (* the skeleton and boundary, going counterclockwise *)
(Subscript[b, i])(Subscript[a, j]),  (* the linking matrix*)
<|  (* For each closure, specified by the order in which tails (incl (Subscript[t, ∞])) are visited, a linking functional for the complement. *)
{(Subscript[t, i]),(Subscript[t, j]),(Subscript[t, ∞])}->x[(Subscript[c, 11])(Subscript[λ, i,i])+(Subscript[c, 12])(Subscript[λ, i,j])+(Subscript[c, 13])(Subscript[λ, i,∞])+(Subscript[c, 21])(Subscript[λ, j,i])+(Subscript[c, 22])(Subscript[λ, j,j])+(Subscript[c, 23])(Subscript[λ, j,∞])+(Subscript[c, 31])(Subscript[λ, ∞,i])+(Subscript[c, 32])(Subscript[λ, ∞,j])+(Subscript[c, 33])(Subscript[λ, ∞,∞])],
{(Subscript[t, j]),(Subscript[t, i]),(Subscript[t, ∞])}->0
|>
]

Fi[(Subscript[X, i,j])]