(Subscript[M, k_])[ℰ_]:=Expand[ℰ /. {(Subscript[e, k])->(1-t)(Subscript[e, k])+(Subscript[e, k+1]),(Subscript[e, k+1])->t (Subscript[e, k])}]

Table[Coefficient[(Subscript[M, 3])[(Subscript[e, j])],(Subscript[e, i])], {i,7},{j,7}]//MatrixForm

Table[(Subscript[e, i])//(Subscript[M, 2])//(Subscript[M, 5]),{i,7}]

Table[(Subscript[e, i])//(Subscript[M, 5])//(Subscript[M, 2]),{i,7}]

lhs=Table[(Subscript[e, i])//(Subscript[M, 3])//(Subscript[M, 4])//(Subscript[M, 3]),{i,7}]

rhs=Table[(Subscript[e, i])//(Subscript[M, 4])//(Subscript[M, 3])//(Subscript[M, 4]),{i,7}]

lhs==rhs

(Subscript[δ, i_,j_]):= Which[i==j,1,i≠ j,0]

(Subscript[δ, 2,2])

(Subscript[N, i_,j_])[(Subscript[A, r_,s_])]:= Which[s<i || i<r, (Subscript[δ, i,j]), s==i, (1- (Subscript[t, i])) (Subscript[δ, i,r])+ (Subscript[t, r]) (Subscript[δ, i,j]), r==i,(1- (Subscript[t, i])) ((Subscript[δ, i,j])+ (Subscript[t, i]) (Subscript[δ, s,j])) + (Subscript[t, i]) (Subscript[t, s]) (Subscript[δ, i,j]), r<i<s, (1- (Subscript[t, i])) (1- (Subscript[t, s]))(Subscript[δ, r,j]) - (1- (Subscript[t, r])) (Subscript[δ, s,j]) + (Subscript[δ, i,j])]

(Subscript[N, 2,2])[(Subscript[A, 1,2])]

Table[(Subscript[N, i,j])[(Subscript[A, 1,2])],{i,3},{j,3}]//MatrixForm

Table[(Subscript[N, i,j])[(Subscript[A, 3,7])],{i,9},{j,9}]//MatrixForm