ctrl-J allows you to add/remoce tags from cells.
Cell -> cell tags -> show cell tags.

(Subscript[g, 1])[h[F_, L_]]:= h[
Permute[F, Cycles[{{1,2}}]],
Expand[L/.Join[{(Subscript[x, 2])-> -(Subscript[t, F[[1]]])(Subscript[x, 2])}, Table[(Subscript[x, j])-> ((1-(Subscript[t, F[[j]]]))/((Subscript[t, F[[2]]])-1))(Subscript[x, 2]) +  (((Subscript[t, F[[1]]])-1)/((Subscript[t, F[[2]]])-1))(Subscript[x, j]), {j,3,Length[F]}]]]//Simplify
]

(Subscript[(OverBar[g]), 1])[h[F_, L_]]:= h[
Permute[F, Cycles[{{1,2}}]],
Expand[L/.Join[{(Subscript[x, 2])-> -(1/(Subscript[t, F[[2]]]))(Subscript[x, 2])}, Table[(Subscript[x, j])-> ((1-(Subscript[t, F[[j]]]))/((Subscript[t, F[[2]]])((Subscript[t, F[[2]]])-1)))(Subscript[x, 2]) +  (((Subscript[t, F[[1]]])-1)/((Subscript[t, F[[2]]])-1))(Subscript[x, j]), {j,3,Length[F]}]]]//Simplify
]

(Subscript[g, i_])[h[F_, L_]]/;i>1:=h[
Permute[F, Cycles[{{i,i+1}}]],
Expand[L/.{ (Subscript[x, i])-> (Subscript[x, i+1]), (Subscript[x, i+1])-> (Subscript[t, F[[i]]])(Subscript[x, i]) + (1-(Subscript[t, F[[i+1]]]))(Subscript[x, i+1])}]//Simplify
]

(Subscript[(OverBar[g]), i_])[h[F_, L_]]/;i>1:=h[
Permute[F, Cycles[{{i,i+1}}]],
Expand[L/.{ (Subscript[x, i])-> (1/(Subscript[t, F[[i+1]]])) (Subscript[x, i+1])+ (((Subscript[t, F[[i]]])-1)/(Subscript[t, F[[i+1]]]))(Subscript[x, i]), (Subscript[x, i+1])-> (Subscript[x, i])}]//Simplify
]

{h[{1,2,3,4},(Subscript[α, 2])(Subscript[x, 2])+(Subscript[α, 3])(Subscript[x, 3])+(Subscript[α, 4])(Subscript[x, 4])]//(Subscript[g, 1])//(Subscript[(OverBar[g]), 1]), h[{1,2,3,4},(Subscript[α, 2])(Subscript[x, 2])+(Subscript[α, 3])(Subscript[x, 3])+(Subscript[α, 4])(Subscript[x, 4])]// (Subscript[(OverBar[g]), 1])//(Subscript[g, 1])}

{h[{1,2,3,4},(Subscript[α, 2])(Subscript[x, 2])+(Subscript[α, 3])(Subscript[x, 3])+(Subscript[α, 4])(Subscript[x, 4])]//(Subscript[g, 2])//(Subscript[(OverBar[g]), 2]), h[{1,2,3,4},(Subscript[α, 2])(Subscript[x, 2])+(Subscript[α, 3])(Subscript[x, 3])+(Subscript[α, 4])(Subscript[x, 4])]// (Subscript[(OverBar[g]), 2])//(Subscript[g, 2])}

{h[{1,2,3,4},(Subscript[α, 2])(Subscript[x, 2])+(Subscript[α, 3])(Subscript[x, 3])+(Subscript[α, 4])(Subscript[x, 4])]//(Subscript[g, 3])//(Subscript[(OverBar[g]), 3]), h[{1,2,3,4},(Subscript[α, 2])(Subscript[x, 2])+(Subscript[α, 3])(Subscript[x, 3])+(Subscript[α, 4])(Subscript[x, 4])]// (Subscript[(OverBar[g]), 3])//(Subscript[g, 3])}

{h[{1,2,3},(Subscript[x, 2])]//(Subscript[g, 2])//(Subscript[g, 1])//(Subscript[g, 2]), h[{1,2,3},(Subscript[x, 2])]//(Subscript[g, 1])//(Subscript[g, 2])//(Subscript[g, 1])}

{h[{1,2,3},(Subscript[x, 3])]//(Subscript[g, 2])//(Subscript[g, 1])//(Subscript[g, 2]), h[{1,2,3},(Subscript[x, 3])]//(Subscript[g, 1])//(Subscript[g, 2])//(Subscript[g, 1])}

ι[h[F_,L1_],h[F_,L2_]]:=Simplify[Expand[L1(L2/.{(Subscript[t, i_]):>(Subscript[t, i]^(-1)),(Subscript[x, i_]):>(Subscript[(OverBar[x]), i])})]/.
{(Subscript[x, i_])(Subscript[(OverBar[x]), j_]):>(Piecewise[{{((((Subscript[t, F[[1]]])-1)((Subscript[t, F[[i]]])-1)(1-(Subscript[t, F[[1]]])(Subscript[t,  F[[i]]])))/((Subscript[t, F[[1]]])(Subscript[t,  F[[i]]]))), i==j}, {((-((Subscript[t, F[[1]]])-1)((Subscript[t, F[[i]]])-1)((Subscript[t, F[[j]]])-1))/(Subscript[t, F[[j]]])), i<j}, {((-((Subscript[t, F[[1]]])-1)((Subscript[t, F[[i]]])-1)((Subscript[t, F[[j]]])-1))/((Subscript[t, F[[1]]])(Subscript[t,  F[[j]]]))), i>j}}])}]

Above was the program. Let’s test it:

Table[ι[h[{1,2,3,4},(Subscript[x, i])],h[{1,2,3,4},(Subscript[x, j])]], {i,2,4},{ j,2,4}]//MatrixForm

Table[
Table[ι[h[{1,2,3,4},(Subscript[x, i])]//(Subscript[g, r]),h[{1,2,3,4},(Subscript[x, j])]//(Subscript[g, r])], {i,2,4},{ j,2,4}]//Simplify//MatrixForm,
{r,3}
]

Table[
Table[ι[h[{1,2,3,4},(Subscript[x, i])]//(Subscript[g, r]),h[{1,2,3,4},(Subscript[x, j])]//(Subscript[g, r])]==ι[h[{1,2,3,4},(Subscript[x, i])],h[{1,2,3,4},(Subscript[x, j])]], {i,2,4},{ j,2,4}]//Simplify//MatrixForm,
{r,3}
]