Pensieve header: The WG algebra in the most basic form.

Once[<<KnotTheory`];
HL[ℰ_] := Style[ℰ, Background -> If[TrueQ@ℰ,,]];
χ[cond_]:=If[TrueQ[cond],1,0];

DeclareGroup[G_Symbol,(Subscript[S, n_])]:=Module[{α,β,e},
G/:Ord[G]=n!;
G/:Elements[G]=PermutationCycles/@(Permutations@Range@n);
Do[G/:g[G,α]=e=Elements[G][[α]]; G/:ind[G,e]=α,
{α,Ord[G]} ];
Do[G/: m[G,α,β]=ind[G,g[G,α]~PermutationProduct~g[G,β]],
{α,Ord[G]},{β,Ord[G]} ];
Do[G/: inv[G,α]=ind[G,InversePermutation[g[G,α]]],
{α,Ord[G]} ] ]

g[α_]:=g[$G,α]; ind[α_]:=ind[$G,α]; m[α_,β_]:=m[$G,α,β]; inv[α_]:=inv[$G,α];

(Subscript[m, i_,j_->k_])[ℰ_]:=Expand[ℰ]/.(Subscript[W, i])[α_,β_](Subscript[W, j])[γ_,δ_]:>χ[m[α,β]==m[β,γ]](Subscript[W, k])[α,m[β,δ]]

(Subscript[R, i_,j_]):=Sum[(Subscript[W, i])[α,1](Subscript[W, j])[β,α], {α,Ord[$G]}, {β,Ord[$G]}];
(Subscript[(OverBar[R]), i_,j_]):=Sum[(Subscript[W, i])[α,1](Subscript[W, j])[β,inv@α], {α,Ord[$G]}, {β,Ord[$G]}];
(Subscript[η, i_]):=Sum[(Subscript[W, i])[α,1], {α,Ord[$G]}];

DeclareGroup[$G=S3,(Subscript[S, 3])];
Table[m[i,j],{i,Ord[S3]},{j,Ord[S3]}]//MatrixForm

Short[lhs=(Subscript[R, 1,2])(Subscript[R, 4,3])(Subscript[R, 5,6])//(Subscript[m, 1,4->1])//(Subscript[m, 2,5->2])//(Subscript[m, 3,6->3])]
rhs=(Subscript[R, 2,3])(Subscript[R, 1,4])(Subscript[R, 5,6])//(Subscript[m, 1,5->1])//(Subscript[m, 2,6->2])//(Subscript[m, 3,4->3]);
HL[lhs==rhs]

Short[lhs=(Subscript[R, 1,2])(Subscript[(OverBar[R]), 3,4])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 2,4->2])];
rhs=(Subscript[η, 1])(Subscript[η, 2])//Expand;
HL[lhs==rhs]

Short[lhs=(Subscript[R, 1,2])(Subscript[(OverBar[R]), 3,4])//(Subscript[m, 1,3->1])//(Subscript[m, 4,2->2])];
rhs=(Subscript[η, 1])(Subscript[η, 2])//Expand;
HL[lhs==rhs]

Z[K_]:=Module[{z},
z=Expand[Times@@PD[K]/.x:X[i_,j_,k_,l_]:>If[PositiveQ@x, (Subscript[R, l,i]),(Subscript[(OverBar[R]), j,i])]];
Do[z=z//(Subscript[m, c[[1]],c[[j]]->c[[1]]]),{c,Skeleton[K]},{j,2,Length@c}];
z]

Elements[$G]

tab=Table[Echo@Timing[K->Z[K]], {K,AllKnots[{3,5}]}];

To do: Tangle algorithm, conjugacy classes, implement and verify Δ etc.