Once[<<KnotTheory`]

χ[cond_]:=If[TrueQ[cond],1,0];

ℰ_//m[i_,j_->k_]:=Expand[ℰ/.(Subscript[e, r_,s_,t_])[i](Subscript[e, u_,v_,w_])[j]:>χ[t==v](((-1))^(u(s+t)))(Subscript[e, (r+u)~Mod~2,s,w])[k]]

KBasis[{i_}]:={(Subscript[e, 0,0,0])[i],(Subscript[e, 0,0,1])[i],(Subscript[e, 0,1,0])[i],(Subscript[e, 0,1,1])[i],(Subscript[e, 1,0,0])[i],(Subscript[e, 1,0,1])[i],(Subscript[e, 1,1,0])[i],(Subscript[e, 1,1,1])[i]}
KBasis[{i_,is__}]:=Flatten@Outer[Times,KBasis[{i}],KBasis[{is}]]

η[i_]:=(Subscript[e, 0,0,0])[i]+(Subscript[e, 0,1,1])[i]

lhs=η[1]KBasis[{2}]//Expand//m[1,2->1]; lhs==KBasis[{1}]

lhs=η[2]KBasis[{1}]//Expand//m[1,2->1]; lhs==KBasis[{1}]

lhs=KBasis[{1,2,3}]//m[1,2->1]//m[1,3->1]; rhs=KBasis[{1,2,3}]//m[2,3->2]//m[1,2->1]; lhs==rhs

R[i_,j_]:=a1 (Subscript[e, 0,0,0])[i](Subscript[e, 0,0,0])[j]+a2 (Subscript[e, 0,1,1])[i](Subscript[e, 0,0,0])[j]+a3 T (Subscript[e, 0,0,0])[i](Subscript[e, 0,1,1])[j]-a4(1- T)(Subscript[e, 1,1,0])[i](Subscript[e, 1,0,1])[j]-a5 T (Subscript[e, 0,1,1])[i](Subscript[e, 0,1,1])[j]

lhs=R[1,2]R[4,3]R[5,6]//Expand//m[1,4->1]//m[2,5->2]//m[3,6->3];
rhs=R[2,3]R[1,4]R[5,6]//Expand//m[1,5->1]//m[2,6->2]//m[3,4->3];
diff=lhs-rhs

Coefficient[diff,(Subscript[e, 0,0,0])[2] (Subscript[e, 1,0,1])[3] (Subscript[e, 1,1,0])[1]]

Block[{a1=1}, Coefficient[diff,(Subscript[e, 0,0,0])[2] (Subscript[e, 1,0,1])[3] (Subscript[e, 1,1,0])[1]]]

Block[{a1=1,a4=1}, Coefficient[diff,(Subscript[e, 0,0,0])[2] (Subscript[e, 1,0,1])[3] (Subscript[e, 1,1,0])[1]]]

Block[{a1=1,a4=1, a3=a2}, Coefficient[diff,(Subscript[e, 0,0,0])[2] (Subscript[e, 1,0,1])[3] (Subscript[e, 1,1,0])[1]]]

Block[{a1=1,a4=1, a3=a2}, Coefficient[diff,(Subscript[e, 0,1,1])[2] (Subscript[e, 1,0,1])[3] (Subscript[e, 1,1,0])[1]]]

Block[{a1=1,a4=1, a3=a2, a5=1}, Coefficient[diff,(Subscript[e, 0,1,1])[2] (Subscript[e, 1,0,1])[3] (Subscript[e, 1,1,0])[1]]]

(OverBar[R])[i_,j_]:=b1 (Subscript[e, 0,0,0])[i](Subscript[e, 0,0,0])[j]+b2 (Subscript[e, 0,1,1])[i](Subscript[e, 0,0,0])[j]+b3 (T^(-1))(Subscript[e, 0,0,0])[i](Subscript[e, 0,1,1])[j]-b4 (1-(T^(-1)))(Subscript[e, 1,1,0])[i](Subscript[e, 1,0,1])[j]-b5 (T^(-1)) (Subscript[e, 0,1,1])[i](Subscript[e, 0,1,1])[j]

lhs=R[1,2](OverBar[R])[3,4]//Expand//m[1,3->1]//m[2,4->2];
rhs=η[1]η[2]//Expand;
diff=lhs-rhs;
Block[{a1=1,a4=1, a3=a2, a5=1}, diff]

Block[{a1=1,a4=1, a3=a2, a5=1}, Coefficient[diff, (Subscript[e, 0,0,0])[1] (Subscript[e, 0,0,0])[2]]]

Block[{a1=1,a4=1, a3=a2, a5=1, b1=1}, diff]

Block[{a1=1,a4=1, a3=a2, a5=1, b1=1}, Coefficient[diff,(Subscript[e, 0,1,1])[1] (Subscript[e, 0,1,1])[2]]]

Block[{a1=1,a4=1, a3=a2, a5=1, b1=1,b5=1}, diff]

Block[{a1=1,a4=1, a3=a2, a5=1, b1=1,b5=1}, Coefficient[diff,(Subscript[e, 0,0,0])[2] (Subscript[e, 0,1,1])[1]]]

Block[{a1=1,a4=1, a3=a2, a5=1, b1=1,b5=1,b2=a2}, diff] /. (a2^2)->1

Block[{a1=1,a4=1, a3=a2, a5=1, b1=1,b5=1,b2=a2}, Coefficient[diff,(Subscript[e, 0,0,0])[1] (Subscript[e, 0,1,1])[2]]] /. (a2^2)->1

Block[{a1=1,a4=1, a3=a2, a5=1, b1=1,b5=1,b2=a2,b3=a2}, diff] /. (a2^2)->1

Block[{a1=1,a4=1, a3=a2, a5=1, b1=1,b5=1,b2=a2,b3=a2,b4=1}, diff] /. (a2^2)->1

lhs=R[1,2](OverBar[R])[3,4]//Expand//m[1,3->1]//m[4,2->2]
rhs=η[1]η[2]//Expand
Simplify[diff=lhs-rhs]

Block[{a1=1,a4=1, a3=a2, a5=1, b1=1,b5=1,b2=a2,b3=a2,b4=1}, diff]//Simplify