M=(({{α, β, θ}, {γ, δ, ϵ}, {ϕ, ψ, Ξ}}));

{(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),(Subscript[y, 3])}==M.{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}

eqns=Thread[{(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),(Subscript[y, 3])}==M.{(Subscript[x, 1]),(Subscript[x, 2]),(Subscript[x, 3])}]⋃{(Subscript[y, 1])==(Subscript[x, 2])}

Solve[eqns, {(Subscript[y, 2]),(Subscript[y, 3])}]

{sol}=Solve[eqns, {(Subscript[x, 2]),(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),(Subscript[y, 3])}]

Table[Coefficient[(Subscript[y, i]) /. sol, (Subscript[x, j])] // Apart, {i,{2,3}}, {j,{1,3}}] // MatrixForm