(Subscript[a, 0])=0.5; (Subscript[a, n_]):=(((((1+(Subscript[a, n-1]))/2)))^(1/2));
Table[(Subscript[a, n]), {n,0, 10}] // Print;
Table[(4^n)(1-(Subscript[a, n])), {n,0, 10}] // Print;

(Subscript[a, 0])=1./3; (Subscript[a, n_]):=(((((1+(Subscript[a, n-1]))/2)))^(1/2));
Table[(Subscript[a, n]), {n,0, 10}] // Print;
Table[(4^n)(1-(Subscript[a, n])), {n,0, 10}] // Print;

Plot[(4^10)(1-(Subscript[a, 10])), {(Subscript[a, 0]),-1,1}]

Sum[(((D[Cos[α],{α,n}] /. α->0))/(n!))(x^n), {n,0,6}]

f[x_] := (((ArcCos[x])^2)/2)

{f[0.5], f[1./3]}

Plot[f[x], {x,-1,1}]