Copyleft | Dror Bar-Natan: Academic Pensieve: Classes: 12-267:

Pensieve Header: Very basic Frobenius series manipulations.

Very basic Frobenius series manipulations

Some Definitions

FundamentalSeries[(x^2)y''+x P_. y'+Q_. y, n_] := FundamentalSeries[P,Q,n];
FundamentalSeries[(x^2)y''+Q_. y, n_] := FundamentalSeries[0,Q,n];
FundamentalSeries[(x^2)y''+x P_. y', n_] := FundamentalSeries[P,0,n];
FundamentalSeries[P_,Q_, n_] := Module[{p,q,F, a},
(Subscript[p, k_]) := (Subscript[p, k])= SeriesCoefficient[P, {x,0,k}];
(Subscript[q, k_]) := (Subscript[q, k])= SeriesCoefficient[Q, {x,0,k}];
F[α_] := α(α-1)+(Subscript[p, 0])α+(Subscript[q, 0]);
Print[α /. Solve[F[α]==0]];
(Subscript[a, 0]) = 1;
(Subscript[a, k_]) /; k>0 := (Subscript[a, k]) = ((-(∑_(j=0)^(k-1))((α+j)(Subscript[p, k-j])+(Subscript[q, k-j]))(Subscript[a, j]))/(F[α+k]));
(((∑_(k=0)^n)(Subscript[a, k])(x^k))+((O[x])^(n+1)))(x^α)
];
L[eqn_, f_]:= Simplify[eqn /. {y'' -> D[f, x, x], y' -> D[f,x], y -> f}];
SimplifyCoefficients[expr_] := expr /. s_SeriesData :> MapAt[Simplify, s, 3];

The Bessel Function (Subscript[J, 0])

eqn=(x^2)y''+x y'+(x^2) y;
ϕ=FundamentalSeries[eqn, 10]

L[eqn, ϕ]

(Subscript[y, 1])=ϕ /. α -> 0

L[eqn, (Subscript[y, 1])]

(Subscript[y, 2])=D[ϕ, α] /. α->0

L[eqn, (Subscript[y, 2])]

(Subscript[y, 2])-Log[x](Subscript[y, 1])

The Bessel Function (Subscript[J, 1/3])

eqn=(x^2)y''+x y'+((x^2)-(1/9)) y;
ϕ=FundamentalSeries[eqn, 10]

L[eqn, ϕ]

(Subscript[y, 1])=ϕ /. α -> 1/3

(Subscript[y, 2])=ϕ /. α -> -1/3

(Subscript[y, 3])=(Subscript[y, 2])+((2(x^(23/3)))/1802240)

Table[L[eqn, (Subscript[y, i])], {i,3}]

The Bessel Function (Subscript[J, 1/2])

eqn=(x^2)y''+x y'+((x^2)-(1/4)) y;
ϕ=FundamentalSeries[eqn, 10]

L[eqn, ϕ]

(Subscript[y, 1])=ϕ /. α -> 1/2

(Subscript[y, 2])=ϕ /. α -> -1/2

{L[eqn, (Subscript[y, 1])], L[eqn, (Subscript[y, 2])]}

The Bessel Function (Subscript[J, 1])

eqn=(x^2)y''+x y'+((x^2)-1) y;
ϕ=FundamentalSeries[eqn, 10]

L[eqn, ϕ]

(Subscript[y, 1])=ϕ /. α -> 1

ϕ /. α -> -1

(α+1)ϕ

(α+1)ϕ // SimplifyCoefficients

D[(α+1)ϕ // SimplifyCoefficients, α]

(Subscript[y, 2])=D[(α+1)ϕ // SimplifyCoefficients, α] /. α -> -1

{L[eqn, (Subscript[y, 1])], L[eqn, (Subscript[y, 2])]}

(Subscript[y, 2])+(1/2)Log[x](Subscript[y, 1])

Plot[(Sqrt[x])Cos[(1/2)Log[x]], {x, (10^(-12)),1}]

Plot[(Sqrt[x])Cos[(1/2)Log[x]], {x, (10^(-12)),0.1}]

Plot[(Sqrt[x])Cos[(1/2)Log[x]], {x, (10^(-12)),0.01}]

Plot[(Sqrt[x])Cos[(1/2)Log[x]], {x, (10^(-12)),0.0001}]