The Turbo-Gassner Representation

Pensieve header: The turbo Gassner representation. Continues pensieve://2016-06/.

δ /: (Subscript[δ, is__]):=KroneckerDelta[1,Length[Union[{is}]]];
Otherwise=True;

The Burau Representation

Inverse[{{0,t},{1,1-t}}]/.t->(t^(-1))//Simplify//Transpose//MatrixForm

(Subscript[B, i_,j_])[ξ_]:=ξ/.(Subscript[v, j]):>(1-t)(Subscript[v, i])+t (Subscript[v, j]);
(Subscript[(OverBar[B]), i_,j_])[ξ_]:=ξ/.(Subscript[v, k_]):>(Piecewise[{{(1-(t^(-1)))(Subscript[v, i])+(t^(-1)) (Subscript[v, j]), j==k}, {(Subscript[v, k]), Otherwise}}]);

{{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[B, 1,3]), {(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[(OverBar[B]), 1,3])}

{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[B, 1,3])//(Subscript[(OverBar[B]), 1,3])//Expand

Column@{R3l={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[B, 1,2])//(Subscript[B, 1,3])//(Subscript[B, 2,3]),
R3r={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[B, 2,3])//(Subscript[B, 1,3])//(Subscript[B, 1,2]) ,
R3l-R3r // Expand}

The Gassner Representation

(Subscript[G, i_,j_])[ξ_]:=ξ/.(Subscript[v, k_]):>(Subscript[v, k])+(Subscript[δ, k,j])((Subscript[t, i])-1)((Subscript[v, j])-(Subscript[v, i]));
(Subscript[(OverBar[G]), i_,j_])[ξ_]:=ξ/.(Subscript[v, j]):>(1-(Subscript[t, i]^(-1)))(Subscript[v, i])+(Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[v, j]);

{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[(OverBar[G]), 1,3])//Expand

Column@{R3l={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,2])//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 2,3]),
R3r={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 2,3])//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 1,2]),
R3l-R3r // Expand}

Column@{OCl={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,2])//(Subscript[G, 1,3]),
OCr={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 1,2]) ,
OCl-OCr // Expand}

Column@{UCl={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 2,3]),
UCr={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 2,3])//(Subscript[G, 1,3]) ,
UCl-UCr // Expand}

The Gassner Representation for u-Braids

(Subscript[γ, i_])[ξ_]:=Expand[ξ/.(Subscript[v, i+1]):>(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[v, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[v, i+1])/.{(Subscript[t, i])->(Subscript[t, i+1]),(Subscript[t, i+1])->(Subscript[t, i]),(Subscript[v, i])->(Subscript[v, i+1]),(Subscript[v, i+1])->(Subscript[v, i])}];
(Subscript[(OverBar[γ]), i_])[ξ_]:=Expand[ξ/.{(Subscript[t, i])->(Subscript[t, i+1]),(Subscript[t, i+1])->(Subscript[t, i]),(Subscript[v, i])->(Subscript[v, i+1]),(Subscript[v, i+1])->(Subscript[v, i])}/.(Subscript[v, i+1]):>(1-(Subscript[t, i]^(-1)))(Subscript[v, i])+(Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[v, i+1])];

{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[γ, 1])//(Subscript[(OverBar[γ]), 1])

(Subscript[γ, i_,j_])[ξ_] /; i<j := Module[{ζ=ξ},
Do[ζ=(Subscript[(OverBar[γ]), k])[ζ],{k,i,j-2}];
ζ=ζ//(Subscript[γ, j-1]);
Do[ζ=(Subscript[γ, k])[ζ],{k,j-1,i,-1}];
ζ];
(Subscript[γ, i_,j_])[ξ_] /; j<i := Module[{ζ=ξ},
Do[ζ=(Subscript[γ, k])[ζ],{k,i-1,j,-1}];
ζ=ζ//(Subscript[γ, j]);
Do[ζ=(Subscript[(OverBar[γ]), k])[ζ],{k,j+1,i-1}];
ζ]

lhs=Table[(Subscript[v, i]),{i,7}]//(Subscript[γ, 2,6])//(Subscript[γ, 3,5])

rhs=Table[(Subscript[v, i]),{i,7}]//(Subscript[γ, 3,5])//(Subscript[γ, 2,6]); lhs-rhs

Table[Simplify@Coefficient[(Subscript[γ, 2,4])[(Subscript[v, j])],(Subscript[v, i])], {i,5},{j,5}]//MatrixForm

Table[Simplify@Coefficient[(Subscript[γ, 4,2])[(Subscript[v, j])],(Subscript[v, i])], {i,5},{j,5}]//MatrixForm

Table[Simplify@(∂_(Subscript[v, i]))(Subscript[γ, 2,5])[(Subscript[v, j])], {i,6},{j,6}]//MatrixForm

Table[Simplify@(∂_(Subscript[v, i]))(Subscript[γ, 2,7])[(Subscript[v, j])], {i,8},{j,8}]//MatrixForm

The Gassner-Plus Representation

(Subscript[GP, i_,j_])[ξ_]:=Expand[ξ/.{(Subscript[u, j]):>(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[u, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[u, j]),
f_.(Subscript[v, j]):>f(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[v, i])+f (Subscript[t, i])(Subscript[v, j])+((Subscript[t, i])-1)((Subscript[t, i])(∂_(Subscript[t, i]))f-(Subscript[t, j])(∂_(Subscript[t, j]))f)(Subscript[u, i])+f (Subscript[t, i])(Subscript[u, i])  }];
(Subscript[(OverBar[GP]), i_,j_])[ξ_]:=Expand[ξ/.{(Subscript[u, j]):>(1-(Subscript[t, i]^(-1)))(Subscript[u, i])+(Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[u, j]),
f_.(Subscript[v, j]):>f(1-(Subscript[t, i]^(-1)))(Subscript[v, i])+f (Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[v, j])+((Subscript[t, i]^(-1))-1)((Subscript[t, i])(∂_(Subscript[t, i]))f-(Subscript[t, j])(∂_(Subscript[t, j]))f)(Subscript[u, i])-f (Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[u, i])  }];

GPchecks={f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),(Subscript[u, 3])};
GPchecks //(Subscript[GP, 1,3])//(Subscript[(OverBar[GP]), 1,3])

R3l=GPchecks//(Subscript[GP, 1,2])//(Subscript[GP, 1,3])//(Subscript[GP, 2,3])

R3r=GPchecks//(Subscript[GP, 2,3])//(Subscript[GP, 1,3])//(Subscript[GP, 1,2]); R3l-R3r

OCl=GPchecks//(Subscript[GP, 1,2])//(Subscript[GP, 1,3])

OCr=GPchecks//(Subscript[GP, 1,3])//(Subscript[GP, 1,2]); OCl-OCr

Question. Does GP factor through G? How?

The End(G) Representation

(Subscript[EG, i_,j_])[ξ_] := Expand[ξ /. {(Subscript[u, j])->(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[u, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[u, j]),(Subscript[w, i])->(Subscript[w, i])+(1-((Subscript[t, i])^(-1)))(Subscript[w, j]), (Subscript[w, j])->((Subscript[t, i])^(-1))(Subscript[w, j])}];
(Subscript[(OverBar[EG]), i_,j_])[ξ_] := Expand[ξ /. {(Subscript[u, j])->(1-(Subscript[t, i]^(-1)))(Subscript[u, i])+(Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[u, j]),(Subscript[w, i])->(Subscript[w, i])+(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[w, j]), (Subscript[w, j])->(Subscript[t, i])(Subscript[w, j])}];
EGchecks=Flatten@Table[(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),{i,3},{j,3}];
EGchecks // (Subscript[EG, 1,3])//(Subscript[(OverBar[EG]), 1,3])

Short[R3l=EGchecks//(Subscript[EG, 1,2])//(Subscript[EG, 1,3])//(Subscript[EG, 2,3]),10]

R3r=EGchecks//(Subscript[EG, 2,3])//(Subscript[EG, 1,3])//(Subscript[EG, 1,2]); R3l-R3r

(#->Collect[(Subscript[EG, i,j])[#],(Subscript[u, _])(Subscript[w, _]),Simplify])& /@ {(Subscript[u, k])(Subscript[w, j]),(Subscript[u, k])(Subscript[w, i]),(Subscript[u, j])(Subscript[w, k]),(Subscript[u, j])(Subscript[w, i])}

The End(G)+c Representation

Is there topology behind this representation?

(Subscript[EGc, i_,j_])[ξ_] := Expand[ξ /. {
(Subscript[c, i])->(Subscript[c, i])-(1-((Subscript[t, i])^(-1)))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]), (Subscript[c, j])->(Subscript[c, j])+(1-((Subscript[t, i])^(-1)))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),
(Subscript[u, j])->(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[u, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[u, j]),
(Subscript[w, i])->(Subscript[w, i])+(1-((Subscript[t, i])^(-1)))(Subscript[w, j]), (Subscript[w, j])->((Subscript[t, i])^(-1))(Subscript[w, j])}];
(Subscript[(OverBar[EGc]), i_,j_])[ξ_] := Expand[ξ /. {
(Subscript[c, i])->(Subscript[c, i])+((Subscript[t, i])-1)(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]), (Subscript[c, j])->(Subscript[c, j])+(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),
(Subscript[u, j])->(1-(Subscript[t, i]^(-1)))(Subscript[u, i])+(Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[u, j]),
(Subscript[w, i])->(Subscript[w, i])+(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[w, j]), (Subscript[w, j])->(Subscript[t, i])(Subscript[w, j])}];
EGcchecks={(Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 3]),(Subscript[u, 1]) (Subscript[w, 1]),(Subscript[u, 1]) (Subscript[w, 2]),(Subscript[u, 1]) (Subscript[w, 3]),(Subscript[u, 2]) (Subscript[w, 1]),(Subscript[u, 2]) (Subscript[w, 2]),(Subscript[u, 2]) (Subscript[w, 3]),(Subscript[u, 3]) (Subscript[w, 1]),(Subscript[u, 3]) (Subscript[w, 2]),(Subscript[u, 3]) (Subscript[w, 3])};
EGcchecks // (Subscript[EGc, 1,3])//(Subscript[(OverBar[EGc]), 1,3])

(#->Collect[(Subscript[EGc, 1,2])[#],(Subscript[u, _])(Subscript[w, _]),Simplify])& /@ EGcchecks

(Subscript[u, 1]) (Subscript[w, 2])+(Subscript[c, 2]) // (Subscript[EGc, 1,2])

(#->Simplify[(Subscript[EGc, 1,2])[#] /. {(Subscript[u, i_])(Subscript[w, i_])->1, (Subscript[u, i_])(Subscript[w, j_])/;i≠j:>0}])& /@ EGcchecks

Short[R3l=EGcchecks//(Subscript[EGc, 1,2])//(Subscript[EGc, 1,3])//(Subscript[EGc, 2,3]),10]

R3r=EGcchecks//(Subscript[EGc, 2,3])//(Subscript[EGc, 1,3])//(Subscript[EGc, 1,2]); R3l-R3r

The Turbo-Gassner Representation

(Subscript[TG, i_,j_])[ξ_] := Expand[ξ /. {
f_. (Subscript[v, k_]):>Plus[f (Subscript[v, k])/.(Subscript[v, j])->(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[v, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[v, j]),
(1-((Subscript[t, i])^(-1)))((Subscript[t, i]) (∂_(Subscript[t, i]))f-(Subscript[t, j]) (∂_(Subscript[t, j]))f)((Subscript[u, k])/.(Subscript[u, j])->(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[u, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[u, j]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),
(Subscript[δ, k,i])f((Subscript[u, j])-(Subscript[u, i]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])],
(Subscript[u, j])->(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[u, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[u, j]),
(Subscript[w, i])->(Subscript[w, i])+(1-((Subscript[t, i])^(-1)))(Subscript[w, j]), (Subscript[w, j])->((Subscript[t, i])^(-1))(Subscript[w, j])}];
(Subscript[(OverBar[TG]), i_,j_])[ξ_] := Expand[ξ /. {
f_. (Subscript[v, k_]):>Plus[f (Subscript[v, k])/.(Subscript[v, j])->(1-(Subscript[t, i]^(-1)))(Subscript[v, i])+(Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[v, j]),
(1-(Subscript[t, i]))((Subscript[t, i]) (∂_(Subscript[t, i]))f-(Subscript[t, j]) (∂_(Subscript[t, j]))f)((Subscript[u, k])/.(Subscript[u, j])->(1-(Subscript[t, i]^(-1)))(Subscript[u, i])+(Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[u, j]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),
(Subscript[δ, k,i])f((Subscript[u, i])-(Subscript[u, j]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])],
(Subscript[u, j])->(1-(Subscript[t, i]^(-1)))(Subscript[u, i])+(Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[u, j]),
(Subscript[w, i])->(Subscript[w, i])+(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[w, j]), (Subscript[w, j])->(Subscript[t, i])(Subscript[w, j])}];
TGchecks={f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),(Subscript[u, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])};
TGchecks//(Subscript[TG, 1,3])//(Subscript[(OverBar[TG]), 1,3])

Short[R3l=TGchecks//(Subscript[TG, 1,2])//(Subscript[TG, 1,3])//(Subscript[TG, 2,3]),10]

R3r=TGchecks//(Subscript[TG, 2,3])//(Subscript[TG, 1,3])//(Subscript[TG, 1,2]); R3l-R3r

Short[OCl=TGchecks // (Subscript[TG, 1,2])//(Subscript[TG, 1,3])]

OCr=TGchecks//(Subscript[TG, 1,3])//(Subscript[TG, 1,2]); OCl-OCr

A Finite-Rank Turbo-Gassner Representation

(Subscript[FTG, i_,j_])[ξ_] := Expand[ξ /. {
(Subscript[v, k_]):>(Subscript[v, k])+(Subscript[δ, k,j])(((Subscript[t, i])-1)((Subscript[v, j])-(Subscript[v, i]))+(Subscript[v, i,j])-(Subscript[v, i,i]))+(Subscript[δ, k,i])((Subscript[u, j])-(Subscript[u, i]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),
(Subscript[v, l_,k_]):>(Subscript[v, l,k])+((Subscript[t, i])-1)((Subscript[δ, k,j])((Subscript[v, l,j])-(Subscript[v, l,i]))+((Subscript[δ, l,i])-(Subscript[δ, l,j])(Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[t, j]))((Subscript[u, k])+(Subscript[δ, k,j])((Subscript[t, i])-1)((Subscript[u, j])-(Subscript[u, i])))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])),
(Subscript[u, k_]):>(Subscript[u, k])+(Subscript[δ, k,j])((Subscript[t, i])-1)((Subscript[u, j])-(Subscript[u, i])),
(Subscript[w, k_]):>(Subscript[w, k])+((Subscript[δ, k,j])-(Subscript[δ, k,i]))((Subscript[t, i]^(-1))-1)(Subscript[w, j])}];
(Subscript[(OverBar[FTG]), i_,j_])[ξ_] := Expand[ξ /. {
(Subscript[v, k_]):>(Subscript[v, k])+(Subscript[δ, k,j])(Subscript[t, i]^(-2))((Subscript[t, i])((Subscript[t, i])-1)((Subscript[v, i])-(Subscript[v, j]))+(Subscript[v, i,i])-(Subscript[v, i,j]))+(Subscript[δ, k,i])((Subscript[u, i])-(Subscript[u, j]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),
(Subscript[v, l_,k_]):>(Subscript[v, l,k])+(Subscript[δ, k,j])(1-(Subscript[t, i]^(-1)))((Subscript[v, l,i])-(Subscript[v, l,j]))+(1-(Subscript[t, i]))((Subscript[t, i])(Subscript[δ, l,i])-(Subscript[t, j])(Subscript[δ, l,j]))((Subscript[u, k])+(Subscript[δ, k,j])((Subscript[t, i]^(-1))-1)((Subscript[u, j])-(Subscript[u, i])))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),
(Subscript[u, k_]):>(Subscript[u, k])+(Subscript[δ, k,j])((Subscript[t, i]^(-1))-1)((Subscript[u, j])-(Subscript[u, i])),
(Subscript[w, k_]):>(Subscript[w, k])+((Subscript[δ, k,j])-(Subscript[δ, k,i]))((Subscript[t, i])-1)(Subscript[w, j])}];
FTGchecks[n_]:=
{Table[(Subscript[v, k]),{k,n}],Table[(Subscript[v, l,k]),{l,n},{k,n}],Table[(Subscript[u, k]),{k,n}],Table[(Subscript[w, k]),{k,n}]};
(FTGchecks[3]//(Subscript[FTG, 1,3])//(Subscript[(OverBar[FTG]), 1,3]))-FTGchecks[3]
Short[R3l=FTGchecks[3]//(Subscript[FTG, 1,2])//(Subscript[FTG, 1,3])//(Subscript[FTG, 2,3]),10]
R3r=FTGchecks[3]//(Subscript[FTG, 2,3])//(Subscript[FTG, 1,3])//(Subscript[FTG, 1,2]); R3l-R3r

FTGchecks[3] // (Subscript[FTG, 1,2]) // Column

Short[OCl=FTGchecks[3] // (Subscript[FTG, 1,2])//(Subscript[FTG, 1,3]),100]

Short[OCr=FTGchecks[3]//(Subscript[FTG, 1,3])//(Subscript[FTG, 1,2]),100]

OCl-OCr

Short[FOC1=FTGchecks[4]//(Subscript[FTG, 1,2])//(Subscript[FTG, 1,3])//(Subscript[FTG, 1,4])]

Short[FOC2=FTGchecks[4]//(Subscript[FTG, 1,3])//(Subscript[FTG, 1,2])//(Subscript[FTG, 1,4])]

Short[FOC3=FTGchecks[4]//(Subscript[FTG, 1,4])//(Subscript[FTG, 1,2])//(Subscript[FTG, 1,3])]

Short[FOC4=FTGchecks[4]//(Subscript[FTG, 1,4])//(Subscript[FTG, 1,3])//(Subscript[FTG, 1,2])]

FOC1-FOC2-FOC3+FOC4

FOC1-FOC2

FOC2-FOC3

FOC1-FOC3

(FTGchecks[4] // (Subscript[FTG, 1,2])//(Subscript[FTG, 1,3])//(Subscript[(OverBar[FTG]), 1,2])//(Subscript[(OverBar[FTG]), 1,3])//(Subscript[FTG, 1,4])// (Subscript[FTG, 1,3])//(Subscript[FTG, 1,2])//(Subscript[(OverBar[FTG]), 1,3])//(Subscript[(OverBar[FTG]), 1,2])//(Subscript[(OverBar[FTG]), 1,4]))-FTGchecks[4]

(FTGchecks[4] // (Subscript[FTG, 1,2])//(Subscript[FTG, 1,3])//(Subscript[(OverBar[FTG]), 1,2])//(Subscript[(OverBar[FTG]), 1,3])//(Subscript[FTG, 1,3])// (Subscript[FTG, 1,3])//(Subscript[FTG, 1,2])//(Subscript[(OverBar[FTG]), 1,3])//(Subscript[(OverBar[FTG]), 1,2])//(Subscript[(OverBar[FTG]), 1,3]))-FTGchecks[4]

(FTGchecks[5] // (Subscript[FTG, 1,2])//(Subscript[FTG, 1,3])//(Subscript[(OverBar[FTG]), 1,2])//(Subscript[(OverBar[FTG]), 1,3])// (Subscript[FTG, 1,4])//(Subscript[FTG, 1,5])//(Subscript[(OverBar[FTG]), 1,4])//(Subscript[(OverBar[FTG]), 1,5]))-FTGchecks[5]

The Turbo-Burau Representation

η/:((η[i_])^2)=0; η/:η[i_]η[j_]=0;
(Subscript[TB, i_,j_])[ξ_] := 
Expand[ξ /. {
f_. (Subscript[v, k_]):>Plus[f (Subscript[v, k])/.(Subscript[v, j])->(1-t-η[i])(Subscript[v, i])+(t+η[i]) (Subscript[v, j]),
(t-1)((∂_(η[i]))f-(∂_(η[j]))f)((Subscript[u, k])/.(Subscript[u, j])->(1-t)(Subscript[u, i])+t (Subscript[u, j]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),
(Subscript[δ, k,i])(f/._η->0)((Subscript[u, j])-(Subscript[u, i]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])],
(Subscript[u, j])->(1-t)(Subscript[u, i])+t (Subscript[u, j]),
(Subscript[w, i])->(Subscript[w, i])+(1-(t^(-1)))(Subscript[w, j]), (Subscript[w, j])->(t^(-1))(Subscript[w, j])}];
ff=(Subscript[f, 0])+(Subscript[f, 1])η[1]+(Subscript[f, 2])η[2]+(Subscript[f, 3])η[3];
TBchecks={ff (Subscript[v, 1]),ff (Subscript[v, 2]),ff (Subscript[v, 3]),(Subscript[u, 1]^2) (Subscript[w, 1]),(Subscript[u, 1]^2) (Subscript[w, 2]),(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),(Subscript[u, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])};

Short[R3l=TBchecks//(Subscript[TB, 1,2])//(Subscript[TB, 1,3])//(Subscript[TB, 2,3]),10]

R3r=TBchecks//(Subscript[TB, 2,3])//(Subscript[TB, 1,3])//(Subscript[TB, 1,2]); R3l-R3r

Short[OCl=TBchecks // (Subscript[TB, 1,2])//(Subscript[TB, 1,3])]

OCr=TBchecks//(Subscript[TB, 1,3])//(Subscript[TB, 1,2]); OCl-OCr

The Turbo@1 Burau (Non) Representation

(Subscript[TB1, i_,j_])[ξ_] := 
Expand[ξ /. {
(Subscript[v, k_]):>((Subscript[v, k])/.(Subscript[v, j])->(1-t)(Subscript[v, i])+t (Subscript[v, j])+(Subscript[δ, 1,i])((Subscript[v1, j])-(Subscript[v1, 1])))+(Subscript[δ, k,i])((Subscript[u, j])-(Subscript[u, i]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),
(Subscript[v1, k_]):>((Subscript[v1, k])/.(Subscript[v1, j])->(1-t)(Subscript[v1, i])+t (Subscript[v1, j]))+(t-1)((Subscript[δ, 1,i])-(Subscript[δ, 1,j]))((Subscript[u, k])/.(Subscript[u, j])->(1-t)(Subscript[u, i])+t (Subscript[u, j]))(Subscript[u, i])(Subscript[w, j]),
(Subscript[u, j])->(1-t)(Subscript[u, i])+t (Subscript[u, j]),
(Subscript[w, i])->(Subscript[w, i])+(1-(t^(-1)))(Subscript[w, j]), (Subscript[w, j])->(t^(-1))(Subscript[w, j])}];
TB1checks={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3]),(Subscript[v1, 1]),(Subscript[v1, 2]),(Subscript[v1, 3]),(Subscript[u, 1]^2) (Subscript[w, 1]),(Subscript[u, 1]^2) (Subscript[w, 2]),(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),(Subscript[u, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])};

Short[R3l=TB1checks//(Subscript[TB1, 1,2])//(Subscript[TB1, 1,3])//(Subscript[TB1, 2,3]),10]

R3r=TB1checks//(Subscript[TB1, 2,3])//(Subscript[TB1, 1,3])//(Subscript[TB1, 1,2]); R3l-R3r