Kδ/:(Subscript[Kδ, i_,j_]):=If[i===j,1,0];
{(SuperStar[z]),(SuperStar[x]),(SuperStar[y])}={ζ,ξ,η}; {(SuperStar[ζ]),(SuperStar[ξ]),(SuperStar[η])}={z,x,y};
(SuperStar[((Subscript[u_, i_]))]):=(Subscript[((SuperStar[u])), i]);
CF[ℰ_] := Module[
{vs=Cases[ℰ,(Subscript[(z|ζ|y|η), _]),∞]⋃{z,ζ,y,η}},
Total[CoefficientRules[Expand[ℰ], vs] /. (ps_->c_) :> Simplify[c](Times@@(vs^ps))]
];
𝔼/:𝔼[ω1_,Q1_]≡𝔼[ω2_,Q2_]:=CF[ω1==ω2]∧CF[Q1==Q2];

𝔼 /: (Subscript[Zip, ζs_List])@𝔼[ω_,Q_] := Module[{ζ,z,zs,c,ys,ηs,qt,zrule,ζrule},
zs=Table[(SuperStar[ζ]),{ζ,ζs}];
c=Q/.Alternatives@@(ζs⋃zs)->0;
ys=Table[(∂_ζ)(Q/.Alternatives@@zs->0),{ζ,ζs}];
ηs=Table[(∂_z)(Q/.Alternatives@@ζs->0),{z,zs}];
qt=Inverse@Table[(Subscript[Kδ, z,(SuperStar[ζ])])-(∂_(z,ζ))Q,{ζ,ζs},{z,zs}];
zrule=Thread[zs->qt.(zs+ys)];
ζrule=Thread[ζs->ζs+ηs.qt];
CF /@ 𝔼[ω Det[qt],c+ηs.qt.ys] ];

E1=CF/@ 𝔼[1,Tr[(({{(Subscript[θ, 1]), (Subscript[θ, 2]), (Subscript[θ, 3])}})).(({{(Subscript[z, 1])}, {(Subscript[z, 2])}, {(Subscript[z, 3])}}))+(({{(Subscript[ζ, 1]), (Subscript[ζ, 2]), (Subscript[ζ, 3])}})).(({{(Subscript[ϕ, 1])}, {(Subscript[ϕ, 2])}, {(Subscript[ϕ, 3])}}))+(({{(Subscript[ζ, 1]), (Subscript[ζ, 2]), (Subscript[ζ, 3])}})).(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12]), (Subscript[a, 13])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22]), (Subscript[a, 23])}, {(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 32]), (Subscript[a, 33])}})).(({{(Subscript[z, 1])}, {(Subscript[z, 2])}, {(Subscript[z, 3])}}))]]

E2=(Subscript[Zip, {(Subscript[ζ, 3])}])[E1]

E3=(Subscript[Zip, {(Subscript[ζ, 2]),(Subscript[ζ, 3])}])[E1]

E4=(Subscript[Zip, {(Subscript[ζ, 2])}])[E2]

E3==E4

Convention: (({{γ, θ}, {ϕ, a}})) stands for ((Det[γ])^(-1))(e^(θ z + ζ ϕ + ζ a z)).

({{(({{1, (Subscript[θ, 1]), (Subscript[θ, 2]), (Subscript[θ, 3])}, {(Subscript[ϕ, 1]), (Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12]), (Subscript[a, 13])}, {(Subscript[ϕ, 2]), (Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22]), (Subscript[a, 23])}, {(Subscript[ϕ, 3]), (Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 32]), (Subscript[a, 33])}})), ⟶, (({{(1-(Subscript[a, 33])), (Subscript[θ, 1])+(Subscript[θ, 3])(((1-(Subscript[a, 33])))^(-1))(Subscript[a, 31]), (Subscript[θ, 2])+(Subscript[θ, 3])(((1-(Subscript[a, 33])))^(-1))(Subscript[a, 32])}, {(Subscript[ϕ, 1])+(Subscript[a, 13])(((1-(Subscript[a, 33])))^(-1))(Subscript[ϕ, 3]), (Subscript[a, 11])+(Subscript[a, 13])(((1-(Subscript[a, 33])))^(-1))(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 12])+(Subscript[a, 13])(((1-(Subscript[a, 33])))^(-1))(Subscript[a, 32])}, {(Subscript[ϕ, 2])+(Subscript[a, 23])(((1-(Subscript[a, 33])))^(-1))(Subscript[ϕ, 3]), (Subscript[a, 21])+(Subscript[a, 23])(((1-(Subscript[a, 33])))^(-1))(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 22])+(Subscript[a, 23])(((1-(Subscript[a, 33])))^(-1))(Subscript[a, 32])}}))}, {↓,  , ↓}, {(({{(1-(({{(Subscript[a, 22]), (Subscript[a, 23])}, {(Subscript[a, 32]), (Subscript[a, 33])}}))), □}, {□, □}})), (Overscript[=, ?]), (({{(1-(Subscript[a, 33]))⊕(1-((Subscript[a, 22])+(Subscript[a, 23])(((1-(Subscript[a, 33])))^(-1))(Subscript[a, 32]))), □}, {□, □}}))}})

F1=CF/@ 𝔼[1,Tr[(({{(Subscript[η, 1]), (Subscript[η, 2]), (Subscript[η, 3])}})).(({{(Subscript[z, 1])}, {(Subscript[z, 2])}, {(Subscript[z, 3])}}))+(({{(Subscript[ζ, 1]), (Subscript[ζ, 2]), (Subscript[ζ, 3])}})).(({{(Subscript[y, 1])}, {(Subscript[y, 2])}, {(Subscript[y, 3])}}))+(({{(Subscript[ζ, 1]), (Subscript[ζ, 2]), (Subscript[ζ, 3])}})).(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12]), (Subscript[a, 13])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22]), (Subscript[a, 23])}, {(Subscript[a, 31]), (Subscript[a, 32]), (Subscript[a, 33])}})).(({{(Subscript[z, 1])}, {(Subscript[z, 2])}, {(Subscript[z, 3])}}))]]

F2=(Subscript[Zip, {(Subscript[ζ, 3])}])[F1]

F3=(Subscript[Zip, {(Subscript[ζ, 2]),(Subscript[ζ, 3])}])[F1]

F4=(Subscript[Zip, {(Subscript[ζ, 2])}])[F2]

F3≡F4

(G1=CF/@ 𝔼[1,Tr[(({{(Subscript[η, 1]), (Subscript[η, 2])}})).(({{(Subscript[z, 1])}, {(Subscript[z, 2])}}))+(({{(Subscript[ζ, 1]), (Subscript[ζ, 2])}})).(({{(Subscript[y, 1])}, {(Subscript[y, 2])}}))+(({{(Subscript[ζ, 1]), (Subscript[ζ, 2])}})).(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}})).(({{(Subscript[z, 1])}, {(Subscript[z, 2])}}))]])≡𝔼[1,Tr[(({{(Subscript[η, 1]), (Subscript[η, 2]), (Subscript[ζ, 1]), (Subscript[ζ, 2])}})).(({{0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}, {1, 0, (Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {0, 1, (Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}})).(({{(Subscript[y, 1])}, {(Subscript[y, 2])}, {(Subscript[z, 1])}, {(Subscript[z, 2])}}))]]

(G2=(Subscript[Zip, {(Subscript[ζ, 2])}])[G1])≡𝔼[(((1-(Subscript[a, 22])))^(-1)),Tr[(({{(Subscript[η, 1]), (Subscript[η, 2]), (Subscript[ζ, 1])}})).(({{0, 0, 1}, {0, (((1-(Subscript[a, 22])))^(-1)), (((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(Subscript[a, 21])}, {1, (Subscript[a, 12])(((1-(Subscript[a, 22])))^(-1)), (Subscript[a, 11])+(Subscript[a, 12]) (((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(Subscript[a, 21])}})).(({{(Subscript[y, 1])}, {(Subscript[y, 2])}, {(Subscript[z, 1])}}))]]

(({{(((1-(Subscript[a, 22])))^(-1)), (((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(Subscript[a, 21])}, {(Subscript[a, 12])(((1-(Subscript[a, 22])))^(-1)), (Subscript[a, 11])+(Subscript[a, 12]) (((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(Subscript[a, 21])}}))==(({{0, 0}, {0, (Subscript[a, 11])}}))+(({{1, 0}, {0, (Subscript[a, 12])}})).((((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(({{1, 1}, {1, 1}}))).(({{1, 0}, {0, (Subscript[a, 21])}}))

(G3=(Subscript[Zip, {(Subscript[ζ, 1]),(Subscript[ζ, 2])}])[G1])≡𝔼[((Det[(({{1, 0}, {0, 1}}))-(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}}))])^(-1)),Tr[(({{(Subscript[η, 1]), (Subscript[η, 2])}})).(({{(((1-(Subscript[a, 22])))/(Det[(({{1, 0}, {0, 1}}))-(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}}))])), ((Subscript[a, 12])/(Det[(({{1, 0}, {0, 1}}))-(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}}))]))}, {((Subscript[a, 21])/(Det[(({{1, 0}, {0, 1}}))-(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}}))])), (((1-(Subscript[a, 11])))/(Det[(({{1, 0}, {0, 1}}))-(({{(Subscript[a, 11]), (Subscript[a, 12])}, {(Subscript[a, 21]), (Subscript[a, 22])}}))]))}})).(({{(Subscript[y, 1])}, {(Subscript[y, 2])}}))]]

(G4=(Subscript[Zip, {(Subscript[ζ, 1])}])[G2])≡𝔼[(((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(((1-((Subscript[a, 11])+(Subscript[a, 12]) (((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(Subscript[a, 21]))))^(-1)),Tr[(({{(Subscript[η, 1]), (Subscript[η, 2])}})).(({{(((1-((Subscript[a, 11])+(Subscript[a, 12]) (((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(Subscript[a, 21]))))^(-1)), (((1-((Subscript[a, 11])+(Subscript[a, 12]) (((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(Subscript[a, 21]))))^(-1))(Subscript[a, 12])(((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))}, {(((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(Subscript[a, 21])(((1-((Subscript[a, 11])+(Subscript[a, 12]) (((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(Subscript[a, 21]))))^(-1)), (((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))+(((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(Subscript[a, 21])(((1-((Subscript[a, 11])+(Subscript[a, 12]) (((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(Subscript[a, 21]))))^(-1))(Subscript[a, 12])(((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))}})).(({{(Subscript[y, 1])}, {(Subscript[y, 2])}}))]]

Together /@ ((((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(Subscript[a, 21])(((1-((Subscript[a, 11])+(Subscript[a, 12]) (((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(Subscript[a, 21]))))^(-1))(Subscript[a, 12])(((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))+{0, (((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))})

Simplify[{0,(ω^(-1))}+(ω^(-1)) (Subscript[a, 21])(((1-((Subscript[a, 11])+(Subscript[a, 12]) (ω^(-1)) (Subscript[a, 21]))))^(-1))(Subscript[a, 12])(ω^(-1))]

G3≡G4

Simplify[(((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(((1-((Subscript[a, 11])+(Subscript[a, 12]) (((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(Subscript[a, 21]))))^(-1))==(((1-(Subscript[a, 11])))^(-1))(((1-((Subscript[a, 22])+(Subscript[a, 21]) (((1-(Subscript[a, 11])))^(-1))(Subscript[a, 12]))))^(-1))]

Together[(((1-((Subscript[a, 11])+(Subscript[a, 12]) (((1-(Subscript[a, 22])))^(-1))(Subscript[a, 21]))))^(-1))]