Pensieve header: Experiments with connectedness and exponentiation.

Unprotect[SeriesData];
SeriesData /: Expand[sd_SeriesData]:=MapAt[Expand,sd,3];
Protect[SeriesData];

$k=3;

Derivative[m_,n_][(Subscript[G, k_])] /; Max[m,n]>k+1 := 0&

{D[(Subscript[G, 2])[ζ,z],z,z,ζ,z], D[(Subscript[G, 2])[ζ,z],z,z,ζ,z,z]}

NilZip[F_] := Module[{s=F,t=F,n=0},
While[t=!=0,s+=(t=Expand[(∂_ζ)(∂_z)t/(++n)])];
Expand@s ]

NilZip[(Subscript[G, 4])[ζ,z]]

F=Sum[(ϵ^k)(Subscript[G, k])[ζ,z], {k,$k}]+((O[ϵ])^($k+1))

Expand@Log[NilZip[(E^F)]]

(Subscript[NilBra, λ_])[F_] := Module[{s=F,t=F,n=0},
While[t=!=0,s+=(t=Expand[λ(∂_ζ)(∂_z)t/(++n)])];
Expand@s ]

GG=Expand@Log[(Subscript[NilBra, λ])[(E^F)]]

(GG/.λ->0)==F

(∂_λ)GG

Simplify[((∂_λ)GG)==((∂_z)(∂_ζ)GG)+((∂_ζ)GG)((∂_z)GG)]

(Subscript[H, 0])=F;
(Subscript[H, k_]):=(Subscript[H, k])=((Subscript[H, k-1]);Expand[(Subscript[H, k-1])+Integrate[((∂_z)(∂_ζ)(Subscript[H, k-1]))+((∂_ζ)(Subscript[H, k-1]))((∂_z)(Subscript[H, k-1]))-((∂_λ)(Subscript[H, k-1])), {λ,0,λ}]])

(Subscript[H, 1])

(Subscript[H, 2])

(Subscript[H, 3])

(Subscript[H, 4])

Simplify[(Subscript[H, 2$k])==GG]

(Subscript[T, 0])=F;
(Subscript[T, k_]):=(Subscript[T, k])=((Subscript[T, k-1]);Expand[(Subscript[T, k-1])+Integrate[((∂_ζ)(Subscript[T, k-1]))((∂_z)(Subscript[T, k-1]))-((∂_λ)(Subscript[T, k-1])), {λ,0,λ}]])

(Subscript[T, 1])

(Subscript[T, 2])

(Subscript[T, 2])-(Subscript[T, 1])

(Subscript[T, 3])

(Subscript[T, 4])