(Subscript[m0, i_,j_->k_]):={(Subscript[𝒜, k])->(Subscript[𝒜, i])(Subscript[𝒜, j]),(Subscript[ξ, k])->(Subscript[𝒜, j])(Subscript[ξ, i])+(Subscript[ξ, j]), (Subscript[η, k])->(Subscript[𝒜, i])(Subscript[η, j])+(Subscript[η, i]), (Subscript[β, k])->(Subscript[β, i])+(Subscript[β, j])-(Subscript[ξ, i])(Subscript[η, j])};
(Subscript[σ0, i_->j_]):={(Subscript[𝒜, j])->(Subscript[𝒜, i]),(Subscript[ξ, j])->(Subscript[ξ, i]),(Subscript[η, j])->(Subscript[η, i]),(Subscript[β, j])->(Subscript[β, i])}

d1[f_] := Plus[
f/.(Subscript[m0, 1,2->0]),
-f/.(Subscript[m0, 2,1->0])
]

d2[g_] := Plus[
g /.((Subscript[σ0, a->1])⋃(Subscript[m0, b,c->2])),
g/.((Subscript[σ0, b->1])⋃(Subscript[m0, c,a->2])),
g/.((Subscript[σ0, c->1])⋃(Subscript[m0, a,b->2]))
]

Simplify[(f[(Subscript[𝒜, 0]),(Subscript[β, 0]),(Subscript[ξ, 0]),(Subscript[η, 0])]/. (Subscript[m0, 1,2->0]) /. ((Subscript[σ0, a->1])⋃(Subscript[m0, b,c->2])))-(f[(Subscript[𝒜, 0]),(Subscript[β, 0]),(Subscript[ξ, 0]),(Subscript[η, 0])]/. (Subscript[m0, 2,1->0]) /. ((Subscript[σ0, c->1])⋃(Subscript[m0, a,b->2])))]

Expand/@(f[(Subscript[𝒜, 0]),(Subscript[β, 0]),(Subscript[ξ, 0]),(Subscript[η, 0])]/. (Subscript[m0, 1,2->0]) /. ((Subscript[σ0, a->1])⋃(Subscript[m0, b,c->2])))

Expand/@(f[(Subscript[𝒜, 0]),(Subscript[β, 0]),(Subscript[ξ, 0]),(Subscript[η, 0])]/. (Subscript[m0, 2,1->0]) /. ((Subscript[σ0, c->1])⋃(Subscript[m0, a,b->2])))

f[(Subscript[𝒜, 0]),(Subscript[β, 0]),(Subscript[ξ, 0]),(Subscript[η, 0])] // d1

f[(Subscript[𝒜, 0]),(Subscript[β, 0]),(Subscript[ξ, 0]),(Subscript[η, 0])] // d1 // d2

Simplify[f[(Subscript[𝒜, 0]),(Subscript[β, 0]),(Subscript[ξ, 0]),(Subscript[η, 0])] // d1 // d2]

f[(Subscript[𝒜, 0]),(Subscript[ξ, 0]),(Subscript[η, 0])] // d1

f[(Subscript[𝒜, 1]),(Subscript[ξ, 1]),(Subscript[η, 1]),(Subscript[𝒜, 2]),(Subscript[ξ, 2]),(Subscript[η, 2])] // d2

Simplify[(Subscript[β, 0])-((Subscript[𝒜, 0]^(-1))/((Subscript[𝒜, 0]^(-1))-1))(Subscript[ξ, 0])(Subscript[η, 0])//d1]

Flatten@Table[{(Subscript[ξ, i])(Subscript[η, j])},{i,2},{j,2}]

Simplify@d1[(Subscript[ξ, 0])(Subscript[η, 0])]

Column@Flatten@Table[{(Subscript[ξ, i])(Subscript[η, j])->Expand@d2[(Subscript[ξ, i])(Subscript[η, j])]},{i,2},{j,2}]

(Subscript[BP, n_])[λ_List]:=Union@Flatten@Table[
Product[(Subscript[ξ, i]),{i,p1}]Product[(Subscript[η, i]),{i,p2}],
{p1,Tuples[λ,n]},{p2,Tuples[λ,n]}
]

(Subscript[BP, 3])[{1,2}]//Length

(Subscript[BP, 2])@{0}

(Subscript[md1, n_]):=Module[{dz},Table[
dz=d1[z];
Table[Expand@Coefficient[dz, w],{w,(Subscript[BP, n])@{1,2}}],
{z,(Subscript[BP, n])[{0}]}
]];
(Subscript[md2, n_]):=Module[{dz},Table[
dz=d2[z];
Table[Expand@Coefficient[dz, w],{w,(Subscript[BP, n])@{a,b,c}}],
{z,(Subscript[BP, n])[{1,2}]}
]]

(Subscript[md2, 1]) // MatrixForm

MatrixRank[(Subscript[md2, 1])]

MatrixRank[(Subscript[md2, 2])]

MatrixRank[(Subscript[md1, 2])/. (Subscript[𝒜, _])->1]

MatrixRank[(Subscript[md2, 2])/. (Subscript[𝒜, _])->1]

Dimensions[(Subscript[md2, 2])]

(Subscript[md1, 2])//MatrixForm

Expand[(Subscript[md1, 2]).(Subscript[md2, 2])]

(Subscript[ξ, 0]^2)(Subscript[η, 0]^2)//d1 // Expand // d2//Expand

Expand[(Subscript[md1, 2]).(Subscript[md2, 2])] /. (Subscript[𝒜, _])->1