Pensieve header: Roland’s verification of the double in tensorial language.

The tensorial double at ϵ = 0

CF[ℰ_] := ExpandDenominator@ExpandNumerator@Together[Expand[ℰ] //. (E^(x_))(E^(y_)):>(E^(x+y)) /. (E^(x_)):>(E^(CF[x]))];
Kδ/:(Subscript[Kδ, i_,j_]):=If[i===j,1,0];

Zip and Bind

𝔼/:𝔼[L1_,Q1_,P1_]≡𝔼[L2_,Q2_,P2_]:=CF[L1==L2]∧CF[Q1==Q2]∧CF[Normal[P1-P2]==0];
𝔼/:𝔼[L1_,Q1_,P1_]𝔼[L2_,Q2_,P2_]:=𝔼[L1+L2,Q1+Q2,P1*P2];

{(SuperStar[b]),(SuperStar[y]),(SuperStar[a]),(SuperStar[x]),(SuperStar[z])}={β,η,α,ξ,ζ}; {(SuperStar[β]),(SuperStar[η]),(SuperStar[α]),(SuperStar[ξ]),(SuperStar[ζ])}={b,y,a,x,z}; (SuperStar[((Subscript[u_, i_]))]):=(Subscript[((SuperStar[u])), i]);

(Subscript[Zip, {}])[P_]:=P; (Subscript[Zip, {ζ_,ζs___}])[P_] := (Expand[P//(Subscript[Zip, {ζs}])] /. f_.(ζ^(d_.)):>(∂_({(SuperStar[ζ]),d}))f) /. (SuperStar[ζ])->0

QZip implements the “Q-level zips” on 𝔼(L,Q,P)=((Pe)^(L+Q)). Such zips regard the L variables as scalars.

(Subscript[QZip, ζs_List,simp_])@𝔼[L_,Q_,P_] := Module[{ζ,z,zs,c,ys,ηs,qt,zrule,Q1,Q2},
zs=Table[(SuperStar[ζ]),{ζ,ζs}];
c=Q/.Alternatives@@(ζs⋃zs)->0;
ys=Table[(∂_ζ)(Q/.Alternatives@@zs->0),{ζ,ζs}];
ηs=Table[(∂_z)(Q/.Alternatives@@ζs->0),{z,zs}];
qt=Inverse@Table[(Subscript[Kδ, z,(SuperStar[ζ])])-(∂_(z,ζ))Q,{ζ,ζs},{z,zs}];
zrule=Thread[zs->qt.(zs+ys)];
Q2=(Q1=c+ηs.zs/.zrule)/.Alternatives@@zs->0;
simp /@ 𝔼[L,Q2,Det[qt](E^(-Q2))(Subscript[Zip, ζs])[(E^Q1)(P/.zrule)]] ];
(Subscript[QZip, ζs_List]):=(Subscript[QZip, ζs,CF]);

LZip implements the “L-level zips” on 𝔼(L,Q,P)=((Pe)^(L+Q)). Such zips regard all of ((Pe)^Q) as a single”P”. Here the z’s are b and α and the ζ’s are β and a.

(Subscript[LZip, ζs_List,simp_])@𝔼[L_,Q_,P_] := Module[{ζ,z,zs,c,ys,ηs,ηsrule,lt,zrule,L1,L2,Q1,Q2},
(*Print["LZipping"];*)
(*ζs//Echo;*)
zs=Table[(SuperStar[ζ]),{ζ,ζs}];
c=L/.Alternatives@@(ζs⋃zs)->0;
ys=Table[(∂_ζ)(L/.Alternatives@@zs->0),{ζ,ζs}];
ηs=Table[(∂_z)(L/.Alternatives@@ζs->0),{z,zs}];
ηsrule= Table[(SuperStar[z])->(∂_z)(L/.Alternatives@@ζs->0),{z,zs}];(*NEW*)
lt=Inverse@Table[(Subscript[Kδ, z,(SuperStar[ζ])])-(∂_(z,ζ))L,{ζ,ζs},{z,zs}];
zrule=Thread[zs->lt.(zs+ys)];
L1=c+ηs.zs/.zrule;
L2=L1/.Alternatives@@zs->0;
Q1=Q/.Join[zrule,ηsrule];
Q2=Q1/.Join[{Alternatives@@zs->0},ηsrule];
(*{Det[lt](E^(-L2-Q2)),(Subscript[Zip, ζs])[(E^(L1+Q1))(P/.zrule)]}//Echo;*)
simp /@ 𝔼[L2,Q2,Det[lt](E^(-L2-Q2))(Subscript[Zip, ζs])[(E^(L1+Q1))(P/.zrule)]] ];
(Subscript[LZip, ζs_List]):=(Subscript[LZip, ζs,CF]);

(Subscript[Bind, {}])[L_,R_]:=L R;
(Subscript[Bind, {is__}])[L_𝔼,R_𝔼] := Module[{n},
Flatten@Table[{(Subscript[τ, n@i]),(Subscript[a, n@i])},{i,{is}}];
Flatten@Table[{(Subscript[ξ, n@i]),(Subscript[y, n@i])},{i,{is}}];
Times[
L/.Table[(Subscript[(v:b|a|x|y), i])->(Subscript[v, n@i]),{i,{is}}],
R/.Table[(Subscript[(v:β|α|ξ|η), i])->(Subscript[v, n@i]),{i,{is}}]
] // (Subscript[LZip, Flatten@Table[{(Subscript[β, n@i]),(Subscript[a, n@i])},{i,{is}}]]) // (Subscript[QZip, Flatten@Table[{(Subscript[ξ, n@i]),(Subscript[y, n@i])},{i,{is}}]]) ];
(Subscript[B, l_List]):=(Subscript[Bind, l]); (Subscript[B, is___]):=(Subscript[Bind, {is}]);

The Alexander story in Gaussian tensor language

(*Hopf algebra on the a,x side*)
(Subscript[tam, i_,j_->k_]):=𝔼[((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j]))(Subscript[a, k]),((𝕖^(-(Subscript[α, j])))(Subscript[ξ, i])+(Subscript[ξ, j]))(Subscript[x, k]),1]
(Subscript[taΔ, i_->j_,k_]):=𝔼[(Subscript[α, i])((Subscript[a, j])+(Subscript[a, k])),(Subscript[ξ, i])((Subscript[x, j])+(Subscript[x, k])),1]
(Subscript[taS, i_]):=𝔼[-(Subscript[α, i])(Subscript[a, i]),-(𝕖^( (Subscript[α, i])))(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, i]),1]
(Subscript[taSi, i_]):=𝔼[-(Subscript[α, i])(Subscript[a, i]),-(𝕖^( (Subscript[α, i])))(Subscript[ξ, i])(Subscript[x, i]),1]
(*Hopf algebra on the y,b side*)
(Subscript[tbm, i_,j_->k_]):=𝔼[((Subscript[β, i])+(Subscript[β, j]))(Subscript[b, k]),((Subscript[η, i])+(Subscript[η, j]))(Subscript[y, k]),1]
(Subscript[tbΔ, i_->j_,k_]):=𝔼[(Subscript[β, i])((Subscript[b, j])+(Subscript[b, k])),(Subscript[η, i])((𝕖^(- (Subscript[b, k])))(Subscript[y, j])+(Subscript[y, k])),1]
(Subscript[tbS, i_]):=𝔼[-(Subscript[β, i])(Subscript[b, i]),-(𝕖^( (Subscript[b, i])))(Subscript[η, i])(Subscript[y, i]),1]
(Subscript[tbSi, i_]):=𝔼[-(Subscript[β, i])(Subscript[b, i]),-(𝕖^(Subscript[b, i]))(Subscript[η, i])(Subscript[y, i]),1]

Hopf algebra axioms on both sides separately

(co)-associativity on both sides

{((Subscript[taΔ, 1->1,2])~(Subscript[B, 2])~(Subscript[taΔ, 2->2,3]))≡((Subscript[taΔ, 1->1,3])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[taΔ, 1->1,2])),((Subscript[tbΔ, 1->1,2])~(Subscript[B, 2])~(Subscript[tbΔ, 2->2,3]))≡((Subscript[tbΔ, 1->1,3])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tbΔ, 1->1,2])),((Subscript[tam, 1,2->1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tam, 1,3->1]))≡((Subscript[tam, 2,3->2])~(Subscript[B, 2])~(Subscript[tam, 1,2->1])),((Subscript[tbm, 1,2->1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tbm, 1,3->1]))≡((Subscript[tbm, 2,3->2])~(Subscript[B, 2])~(Subscript[tbm, 1,2->1]))}

Δ is an algebra morphism

{(Subscript[tam, 1,2->1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[taΔ, 1->1,2])≡((Subscript[taΔ, 1->1,3])(Subscript[taΔ, 2->2,4]))~(Subscript[B, 1,2,3,4])~((Subscript[tam, 3,4->2])(Subscript[tam, 1,2->1])),
(Subscript[tbm, 1,2->1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tbΔ, 1->1,2])≡((Subscript[tbΔ, 1->1,3])(Subscript[tbΔ, 2->2,4]))~(Subscript[B, 1,2,3,4])~((Subscript[tbm, 3,4->2])(Subscript[tbm, 1,2->1]))}

S is convolution inverse of id

{((Subscript[taΔ, 1->1,2])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[taS, 1]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tam, 1,2->1]),((Subscript[taΔ, 1->1,2])~(Subscript[B, 2])~(Subscript[taS, 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tam, 1,2->1])}
{((Subscript[tbΔ, 1->1,2])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tbS, 1]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tbm, 1,2->1]),((Subscript[tbΔ, 1->1,2])~(Subscript[B, 2])~(Subscript[tbS, 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tbm, 1,2->1])}

Si is the inverse of S

{(Subscript[taSi, 1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[taS, 1])≡𝔼[(Subscript[a, 1]) (Subscript[α, 1]),(Subscript[x, 1]) (Subscript[ξ, 1]),1],(Subscript[taS, 1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[taSi, 1])≡𝔼[(Subscript[a, 1]) (Subscript[α, 1]),(Subscript[x, 1]) (Subscript[ξ, 1]),1]}
{(Subscript[tbSi, 1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tbS, 1])≡𝔼[(Subscript[b, 1]) (Subscript[β, 1]),(Subscript[y, 1]) (Subscript[η, 1]),1],(Subscript[tbS, 1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tbSi, 1])≡𝔼[(Subscript[b, 1]) (Subscript[β, 1]),(Subscript[y, 1]) (Subscript[η, 1]),1]}

S is an algebra anti-morphism

{(Subscript[tam, 1,2->1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[taS, 1])≡((Subscript[taS, 1])(Subscript[taS, 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tam, 2,1->1]),(Subscript[tbm, 1,2->1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tbS, 1])≡((Subscript[tbS, 1])(Subscript[tbS, 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tbm, 2,1->1])}
{(Subscript[taS, 1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[taΔ, 1->1,2])≡(Subscript[taΔ, 1->2,1])~(Subscript[B, 1,2])~((Subscript[taS, 1])(Subscript[taS, 2])),(Subscript[tbS, 1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tbΔ, 1->1,2])≡(Subscript[tbΔ, 1->2,1])~(Subscript[B, 1,2])~((Subscript[tbS, 1])(Subscript[tbS, 2]))}

The pairing.

Table[𝔼[0,0,((Subscript[y, 1])^r)((Subscript[b, 1])^s)((Subscript[a, 2])^t)((Subscript[x, 2])^u)]~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tP, 1,2])≡𝔼[0,0,(Subscript[Kδ, r,u])(Subscript[Kδ, s,t])r!s!],{r,0,4},{s,0,4},{t,0,4},{u,0,4}]//Flatten//Union

Pairing

(Subscript[tP, i_,j_]):=𝔼[(Subscript[β, i])(Subscript[α, j]),(Subscript[η, i])(Subscript[ξ, j]),1]

Pairing axioms

((Subscript[tbm, 1,2->1]) 𝔼[(Subscript[α, 3])(Subscript[a, 3]),(Subscript[ξ, 3])(Subscript[x, 3]),1])~(Subscript[B, 1,3])~(Subscript[tP, 1,3])≡( 𝔼[(Subscript[β, 1])(Subscript[b, 1]),(Subscript[η, 1])(Subscript[y, 1]),1]𝔼[(Subscript[β, 2])(Subscript[b, 2]),(Subscript[η, 2])(Subscript[y, 2]),1](Subscript[taΔ, 3->4,5]))~(Subscript[B, 1,4])~(Subscript[tP, 1,4])~(Subscript[B, 2,5])~(Subscript[tP, 2,5])
((Subscript[tbΔ, 1->1,2]) 𝔼[(Subscript[α, 3])(Subscript[a, 3]),(Subscript[ξ, 3])(Subscript[x, 3]),1]𝔼[(Subscript[α, 4])(Subscript[a, 4]),(Subscript[ξ, 4])(Subscript[x, 4]),1])~(Subscript[B, 1,3])~(Subscript[tP, 1,3])~(Subscript[B, 2,4])~(Subscript[tP, 2,4])≡( 𝔼[(Subscript[β, 1])(Subscript[b, 1]),(Subscript[η, 1])(Subscript[y, 1]),1](Subscript[tam, 3,4->3]))~(Subscript[B, 1,3])~(Subscript[tP, 1,3])

((Subscript[tbS, 1])𝔼[(Subscript[α, 2])(Subscript[a, 2]),(Subscript[ξ, 2])(Subscript[x, 2]),1])~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tP, 1,2])≡(𝔼[(Subscript[β, 1])(Subscript[b, 1]),(Subscript[η, 1])(Subscript[y, 1]),1](Subscript[taS, 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tP, 1,2])

The Double

The double multiplication (should really bind the a’s and b’s separately)

Simplify/@Expand/@((𝔼[(Subscript[β, i])(Subscript[b, i]) + (Subscript[α, j])(Subscript[a, j]),(Subscript[η, i])(Subscript[y, i])+(Subscript[ξ, j])(Subscript[x, j]),1]((Subscript[taΔ, i->h1,h2])~(Subscript[B, h2])~(Subscript[taΔ, h2->h2,h3]))((Subscript[tbΔ, j->t1,t2])~(Subscript[B, t2])~(Subscript[tbΔ, t2->t2,t3])))~(Subscript[B, h3])~(Subscript[taSi, h3])~(Subscript[B, t1,h3])~((Subscript[tP, t1,h3]))~(Subscript[B, t3,h1])~((Subscript[tP, t3,h1]))~(Subscript[B, h2,j,i,t2])~((Subscript[tam, h2,j->k])(Subscript[tbm, t2,i->-k])))/.{(Subscript[u_, -k])->(Subscript[u, k])}

(*Deriving tdS using tdm*)
((𝔼[(Subscript[α, 1])(Subscript[a, 1])+(Subscript[β, 2])(Subscript[b, 2]),(Subscript[ξ, 1])(Subscript[x, 1])+(Subscript[η, 2])(Subscript[y, 2]),1](Subscript[tbSi, 1])(Subscript[taS, 2]))~(Subscript[B, 2,1])~(Subscript[tdm, 2,1->i]))//Simplify

((Subscript[tbSi, 1])(Subscript[taS, 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 2,1->i])

(((Subscript[tbSi, 1])(Subscript[taS, 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 2,1->i]))/.{(Subscript[z_, 1|2])->(Subscript[z, i])}

(*Deriving tdΔ using tdm*)
((Subscript[tbΔ, i->3,1])(Subscript[taΔ, i->2,4]))~(Subscript[B, 1,2,3,4])~((Subscript[tdm, 3,4->k])(Subscript[tdm, 1,2->j]))

(Subscript[tbSi, i])(Subscript[taS, i])

(Subscript[tdm, i_,j_->k_]):=𝔼[(Subscript[a, k]) ((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j]))+(Subscript[b, k]) ((Subscript[β, i])+(Subscript[β, j])),(Subscript[y, k]) ((Subscript[η, i])+(𝕖^(-(Subscript[α, i]))) (Subscript[η, j]))+(Subscript[x, k]) ((𝕖^(-(Subscript[α, j]))) (Subscript[ξ, i])+(Subscript[ξ, j]))+(1-(𝕖^(-(Subscript[b, k])))) (Subscript[η, j]) (Subscript[ξ, i]),1]
(Subscript[tdΔ, i_->j_,k_]):=𝔼[(Subscript[α, i])((Subscript[a, j]) +(Subscript[a, k]) )+(Subscript[β, i])((Subscript[b, j])+(Subscript[b, k])),( (Subscript[y, j])+(𝕖^(-(Subscript[b, j]))) (Subscript[y, k])) (Subscript[η, i])+ ((Subscript[x, j])+(Subscript[x, k]) )(Subscript[ξ, i]),1]
(Subscript[tdS, i_]):=𝔼[-(Subscript[a, i]) (Subscript[α, i])-(Subscript[b, i]) (Subscript[β, i]),-(𝕖^((Subscript[b, i])+(Subscript[α, i]))) (Subscript[y, i]) (Subscript[η, i])-(𝕖^(Subscript[α, i])) (Subscript[x, i]) (Subscript[ξ, i])-(𝕖^(Subscript[α, i])) (Subscript[η, i]) (Subscript[ξ, i])+(𝕖^((Subscript[b, i])+(Subscript[α, i]))) (Subscript[η, i]) (Subscript[ξ, i]),1]

multiplication actually agrees with the double formula on the generators:

(#[[3]]/.{𝕖->E}//Expand)&/@
{𝔼[0,0,(Subscript[x, 1])(Subscript[b, 2])]~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 1,2->1]),
𝔼[0,0,(Subscript[a, 1])(Subscript[y, 2])]~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 1,2->1]),
𝔼[0,0,(Subscript[a, 1])(Subscript[b, 2])]~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 1,2->1]),
𝔼[0,0,(Subscript[x, 1])(Subscript[y, 2])]~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 1,2->1])}

Check S on some generators

(#[[3]]/.{𝕖->E}//Expand)&/@{𝔼[0,0,(Subscript[y, 1])]~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tdS, 1]),
𝔼[0,0,(Subscript[b, 1])]~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tdS, 1]),
𝔼[0,0,(Subscript[a, 1])]~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tdS, 1]),
𝔼[0,0,(Subscript[x, 1])]~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tdS, 1]),
𝔼[0,0,(Subscript[x, 1])(Subscript[a, 1])]~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tdS, 1]),
𝔼[0,0,(Subscript[y, 1])(Subscript[a, 1])]~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tdS, 1])}

Hopf algebra axioms on double

(co)-associativity

{((Subscript[tdΔ, 1->1,2])~(Subscript[B, 2])~(Subscript[tdΔ, 2->2,3]))≡((Subscript[tdΔ, 1->1,3])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tdΔ, 1->1,2])),
((Subscript[tdm, 1,2->1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tdm, 1,3->1]))≡((Subscript[tdm, 2,3->2])~(Subscript[B, 2])~(Subscript[tdm, 1,2->1]))}

Δ is an algebra morphism

(Subscript[tdm, 1,2->1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tdΔ, 1->1,2])≡((Subscript[tdΔ, 1->1,3])(Subscript[tdΔ, 2->2,4]))~(Subscript[B, 1,2,3,4])~((Subscript[tdm, 3,4->2])(Subscript[tdm, 1,2->1]))

S is convolution inverse of id

(#[[2]]//Expand//Simplify)&/@{((Subscript[tdΔ, 1->1,2])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tdS, 1]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 1,2->1]),((Subscript[tdΔ, 1->1,2])~(Subscript[B, 2])~(Subscript[tdS, 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 1,2->1])}

S is a (co)-algebra anti-morphism

{(Subscript[tdm, 1,2->1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tdS, 1])≡((Subscript[tdS, 1])(Subscript[tdS, 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 2,1->1]),(Subscript[tdS, 1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tdΔ, 1->1,2])≡(Subscript[tdΔ, 1->2,1])~(Subscript[B, 1,2])~((Subscript[tdS, 1])(Subscript[tdS, 2]))}

(Subscript[tR, i_,j_]):=𝔼[(Subscript[b, i])(Subscript[a, j]),(Subscript[y, i])(Subscript[x, j]),1]
(Subscript[(OverBar[tR]), i_,j_]):=𝔼[-(Subscript[a, j]) (Subscript[b, i]),-(𝕖^(Subscript[b, i])) (Subscript[x, j]) (Subscript[y, i]),1](*derived from tdS!*)
(Subscript[tC, i_]):=𝔼[0,0,(𝕖^( ((-1)/2) (Subscript[b, i])))]
(Subscript[(OverBar[tC]), i_]):=𝔼[0,0,(𝕖^( (1/2) (Subscript[b, i])))]
(Subscript[tKink, i_]):=𝔼[(Subscript[a, i]) (Subscript[b, i]),(Subscript[x, i]) (Subscript[y, i]),(𝕖^((Subscript[b, i])/2))]
(Subscript[(OverBar[tKink]), i_]):=𝔼[-(Subscript[a, i]) (Subscript[b, i]),-(𝕖^(Subscript[b, i])) (Subscript[x, i]) (Subscript[y, i]),(𝕖^((-(Subscript[b, i]))/2))]

(*Deriving (OverBar[R]) formula*)
(Subscript[tR, i,j])~(Subscript[B, j])~(Subscript[tdS, j])

Kinks

k1=((Subscript[tR, 1,3])(Subscript[(OverBar[tC]), 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 1,2->1])~(Subscript[B, 1,3])~(Subscript[tdm, 1,3->1])
k2=((Subscript[tR, 3,1])(Subscript[tC, 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 1,2->1])~(Subscript[B, 1,3])~(Subscript[tdm, 1,3->1])
k3=((Subscript[(OverBar[tR]), 1,3])(Subscript[tC, 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 1,2->1])~(Subscript[B, 1,3])~(Subscript[tdm, 1,3->1])
k4=((Subscript[(OverBar[tR]), 3,1])(Subscript[(OverBar[tC]), 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 1,2->1])~(Subscript[B, 1,3])~(Subscript[tdm, 1,3->1])

((Subscript[tKink, 1])(Subscript[(OverBar[tKink]), 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 1,2->1])

Reidemeister 2:

((Subscript[tR, 1,2])(Subscript[(OverBar[tR]), 3,4]))~(Subscript[B, 1,3])~(Subscript[tdm, 1,3->1])~(Subscript[B, 2,4])~(Subscript[tdm, 2,4->2])

cyclic Reidemeister 2:

((Subscript[tR, 1,4])(Subscript[(OverBar[tR]), 5,2])(Subscript[(OverBar[tC]), 3]))~(Subscript[B, 2,4])~(Subscript[tdm, 2,4->2])~(Subscript[B, 1,3])~(Subscript[tdm, 1,3->1])~(Subscript[B, 1,5])~(Subscript[tdm, 1,5->1])≡(Subscript[(OverBar[tC]), 1])

Reidemeister 3:

((Subscript[tR, 1,2])(Subscript[tR, 4,3])(Subscript[tR, 5,6]))~(Subscript[B, 1,4])~(Subscript[tdm, 1,4->1])~(Subscript[B, 2,5])~(Subscript[tdm, 2,5->2])~(Subscript[B, 3,6])~(Subscript[tdm, 3,6->3]) ≡
((Subscript[tR, 1,6])(Subscript[tR, 2,3])(Subscript[tR, 4,5]))~(Subscript[B, 1,4])~(Subscript[tdm, 1,4->1])~(Subscript[B, 2,5])~(Subscript[tdm, 2,5->2])~(Subscript[B, 3,6])~(Subscript[tdm, 3,6->3])

Trefoil

Z=(Subscript[tR, 1,5])(Subscript[tR, 6,2])(Subscript[tR, 3,7])(Subscript[(OverBar[tC]), 4])(Subscript[(OverBar[tKink]), 8])(Subscript[(OverBar[tKink]), 9])(Subscript[(OverBar[tKink]), 10]);
Do[Z=Z~(Subscript[B, 1,r])~(Subscript[tdm, 1,r->1]),{r,2,10}];Z
1/(Z[[3]]/.(𝕖^(c_. (Subscript[b, 1])))->(T^c))//Expand

Deriving the Drinfeld element u and its inverse ui

(Subscript[u, i_]):=(Subscript[tR, 1,2])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tdS, 1])~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 2,1->i])
(Subscript[ui, i_]):=(Subscript[tR, 1,2])~(Subscript[B, 2])~(Subscript[tdS, 2])~(Subscript[B, 2])~(Subscript[tdS, 2])~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 2,1->i])

{(Subscript[u, 1]),(Subscript[ui, 1])}

u and ui are inverses

((Subscript[u, 1])(Subscript[ui, 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 1,2->1])

The ribbon element v satisfies (v^2)=S(u)u. The spinner C=(uv^(-1)).
It is convenient to compute z=S(u)(u^(-1)) which is something easy.

(((Subscript[u, 1])~(Subscript[B, 1])~(Subscript[tdS, 1]))(Subscript[ui, 2]))~(Subscript[B, 1,2])~(Subscript[tdm, 1,2->1])

So in our case S(u) = u z so S(u)u = (u^2)z and v = (uz^(1/2)) and finally C = (z^((-1)/2)).