Pensieve header: The bch co-product for the 2D Lie algebra.

𝔼[M_] /; MatrixQ[M] := MatrixExp[M];
a=(({{γ, 0}, {0, 0}})); x=(({{0, 1}, {0, 0}}));
a.x-x.a==γ x

𝔼[α a+ξ x] // Simplify // MatrixForm

𝔼[(Subscript[α, 1])a+(Subscript[ξ, 1])x].𝔼[(Subscript[α, 2])a+(Subscript[ξ, 2])x]==𝔼[((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]))a+((((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2])) ((-1+(E^(γ (Subscript[α, 1])))) (Subscript[α, 2]) (Subscript[ξ, 1])+(E^(γ (Subscript[α, 1]))) (-1+(E^(γ (Subscript[α, 2])))) (Subscript[α, 1]) (Subscript[ξ, 2])))/((-1+(E^(γ ((Subscript[α, 1])+(Subscript[α, 2]))))) (Subscript[α, 1]) (Subscript[α, 2])))x] // Simplify

𝔼[(Subscript[α, 1])a+(Subscript[ξ, 1])x].𝔼[(Subscript[α, 2])a+(Subscript[ξ, 2])x] //Simplify// MatrixForm

sol=Simplify[{α,ξ} /. Solve[Thread[Flatten/@(𝔼[α1 a+ξ1 x].𝔼[α2 a+ξ2 x]==𝔼[α a+ξ x])],
{α,ξ}][[1]] /. C[_]->0] /. {α1->(Subscript[α, i]),α2->(Subscript[α, j]),ξ1->(Subscript[ξ, i]),ξ2->(Subscript[ξ, j])}

(Subscript[Δ, k_->i_,j_])[ℰ_]:=Simplify[ℰ /. {(Subscript[α, k])->(Subscript[α, i])+(Subscript[α, j]), (Subscript[ξ, k])->((((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j])) ((-1+(E^(γ (Subscript[α, i])))) (Subscript[α, j]) (Subscript[ξ, i])+(E^(γ (Subscript[α, i]))) (-1+(E^(γ (Subscript[α, j])))) (Subscript[α, i]) (Subscript[ξ, j])))/((-1+(E^(γ ((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j]))))) (Subscript[α, i]) (Subscript[α, j])))}]

(Subscript[α, 1])//(Subscript[Δ, 1->1,2]) //(Subscript[Δ, 2->2,3])

((Subscript[α, 1])//(Subscript[Δ, 1->1,2]) //(Subscript[Δ, 2->2,3])) == ((Subscript[α, 1])//(Subscript[Δ, 1->2,3]) //(Subscript[Δ, 2->1,2]))

(Subscript[ξ, 1])//(Subscript[Δ, 1->1,2]) //(Subscript[Δ, 2->2,3])

(Subscript[ξ, 1])//(Subscript[Δ, 1->2,3]) //(Subscript[Δ, 2->1,2])

((Subscript[ξ, 1])//(Subscript[Δ, 1->1,2]) //(Subscript[Δ, 2->2,3])) == ((Subscript[ξ, 1])//(Subscript[Δ, 1->2,3]) //(Subscript[Δ, 2->1,2]))

Simplify[((Subscript[ξ, 1])//(Subscript[Δ, 1->1,2]))==((Subscript[ξ, 1])//(Subscript[Δ, 1->2,1]))]

((((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j])) ((-1+(E^(γ (Subscript[α, i])))) (Subscript[α, j]) (Subscript[ξ, i])+(E^(γ (Subscript[α, i]))) (-1+(E^(γ (Subscript[α, j])))) (Subscript[α, i]) (Subscript[ξ, j])))/((-1+(E^(γ ((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j]))))) (Subscript[α, i]) (Subscript[α, j])))//PowerExpand //FullSimplify

Simplify[((((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j])) ((-1+(E^(γ (Subscript[α, i])))) (Subscript[α, j]) (Subscript[ξ, i])+(E^(γ (Subscript[α, i]))) (-1+(E^(γ (Subscript[α, j])))) (Subscript[α, i]) (Subscript[ξ, j])))/((-1+(E^(γ ((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j]))))) (Subscript[α, i]) (Subscript[α, j])))/.(Subscript[ξ, j])->0]

Simplify[((((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j])) ((-1+(E^(γ (Subscript[α, i])))) (Subscript[α, j]) (Subscript[ξ, i])+(E^(γ (Subscript[α, i]))) (-1+(E^(γ (Subscript[α, j])))) (Subscript[α, i]) (Subscript[ξ, j])))/((-1+(E^(γ ((Subscript[α, i])+(Subscript[α, j]))))) (Subscript[α, i]) (Subscript[α, j])))/.(Subscript[ξ, i])->0]