a=-(({{ρ, 0}, {0, σ}}))(α/(ρ-σ));b=-(({{σ, 0}, {0, ρ}}))(β/(ρ-σ));
ℏ=-(((ρ-σ))/(α β));
x=(({{0, 1}, {0, 0}}))(((E^(-ρ))-(E^(-σ)))/(-ℏ));y=(({{0, 0}, {1, 0}}));

MatrixForm /@ {A=MatrixExp[-ℏ β a], B=MatrixExp[-ℏ α b]}

{a.x-x.a==-α x, a.y-y.a==α y} // Simplify

{b.y-y.b==-β y, x.b-b.x==-β x} // Simplify

x.y-y.x==((B-A)/ℏ) // Simplify

Limit[((B-A)/ℏ),β->0]

β a+α b // Simplify //MatrixForm

eqn0=Series[
Flatten@Simplify[MatrixExp[μ x].MatrixExp[ν y]-MatrixExp[λ1 y].MatrixExp[0A].MatrixExp[λ3 x]],
{β,0,0}]

eqn0=Normal[Flatten@Simplify[MatrixExp[μ x].MatrixExp[ν y]-MatrixExp[λ1 y].MatrixExp[0A].MatrixExp[λ3 x]]+((O[β])^1)]

eqn1=Normal[((O[β])^2)+
Flatten@Simplify[MatrixExp[μ x].MatrixExp[ν y]-MatrixExp[(ν+(Subscript[ν, 1])β)y].MatrixExp[β((Subscript[c, 1,0])A+(Subscript[c, 0,1])B)].MatrixExp[(λ3+(Subscript[μ, 1])β) x]]]

eqn1=Normal[((O[β])^2)+
Flatten@Simplify[MatrixExp[μ x].MatrixExp[ν y]-MatrixExp[(ν+(Subscript[c, 1,1])β)y].MatrixExp[β((Subscript[c, 2,1])A+(Subscript[c, 2,0])B)].MatrixExp[(μ+(Subscript[c, 3,1])β) x]]]

Solve[(#==0)&/@eqn1, {(Subscript[c, 1,1]),(Subscript[c, 2,0]),(Subscript[c, 2,1])}]