Pensieve header: The loose $gl_n$ (failed).

Two salvation parameters - ϵ and η.
(Subscript[h, here])=(Subscript[h, naive])-ϵg; (Subscript[h, naive])=(Subscript[h, here])+ϵg.

(Subscript[χ, cond_]) := If[TrueQ@cond, 1, 0];
B[0,_]=0; B[_,0]=0;
B[c_*x:(Subscript[(e|f|g|h), __]),y_]:=Expand[c B[x,y]];
B[y_,c_*x:(Subscript[(e|f|g|h), __])]:=Expand[c B[y,x]];
B[x_Plus,y_] := B[#,y]& /@ x;
B[x_,y_Plus] := B[x,#]& /@ y;

B[(Subscript[h, _]),_] = 0; B[(Subscript[g, _]),(Subscript[g, _])]= 0; 

B[(Subscript[e, i_,j_]),(Subscript[e, k_,l_])] := η (Subscript[χ, j==k])(Subscript[e, i,l])-η (Subscript[χ, l==i])(Subscript[e, k,j]);
B[(Subscript[f, i_,j_]),(Subscript[f, k_,l_])] := η ϵ (Subscript[χ, j==k])(Subscript[f, i,l])-η ϵ (Subscript[χ, l==i])(Subscript[f, k,j]);
B[(Subscript[e, i_,j_]),(Subscript[f, k_,l_])] := Expand[(Subscript[χ, j==k])η(ϵ (Subscript[χ, i<l])(Subscript[e, i,l])+(Subscript[χ, i>l])(Subscript[f, i,l])) - (Subscript[χ, l==i])η(ϵ (Subscript[χ, k<j])(Subscript[e, k,j])+(Subscript[χ, k>j])(Subscript[f, k,j]))+(Subscript[χ, j==k∧i==l])((1/2)((Subscript[h, i])-(Subscript[h, j]))+ϵ ((Subscript[g, i])-(Subscript[g, j])))];

B[(Subscript[g, i_]),(Subscript[e, j_,k_])] := ((Subscript[χ, i==j])-(Subscript[χ, i==k]))(Subscript[e, j,k]);
B[(Subscript[g, i_]),(Subscript[f, j_,k_])] := ((Subscript[χ, i==j])-(Subscript[χ, i==k]))(Subscript[f, j,k]);

B[y_,x_] := Expand[-B[x,y]];

(SuperPlus[Basis])[n_] := Union@Flatten@{Table[(Subscript[e, i,j]), {i,n-1}, {j,i+1,n}],Table[(Subscript[g, i]), {i,n}]};
(SuperMinus[Basis])[n_] := Union@Flatten@{Table[(Subscript[f, i,j]), {i,2,n}, {j,i-1}],Table[(Subscript[h, i]), {i,n}]};
Basis[n_] := Union[(SuperPlus[Basis])[n], (SuperMinus[Basis])[n]];

Basis[4]

n=3;
Table[
{x,y}->B[x,y],
{x,Basis[n]}, {y,Basis[n]}
]// MatrixForm

n=4;
Union@Table[
{x,y}=t; B[x,y]+B[y,x],
{t, Tuples[Basis[n], 2]}
]

n=3;
DeleteCases[Table[
({x,y,z}=t)-> B[x,B[y,z]]+B[y,B[z,x]]+B[z,B[x,y]],
{t, Tuples[Basis[n], 3]}
], _->0]