Pensieve header: Conjugating the exponentials of upper-triangular matrices to polynomial form.

MatrixExp[(({{a, b}, {0, -a}}))] // MatrixForm

n=3; M=Table[If[i≤j,(Subscript[a, i,j]),0], {i,n},{j,n}];
M // MatrixForm

MatrixExp[M] //Simplify// MatrixForm

P=(({{((Subscript[a, 1,1])-(Subscript[a, 2,2])) ((Subscript[a, 1,1])-(Subscript[a, 3,3])) ((Subscript[a, 2,2])-(Subscript[a, 3,3])), 0, 0}, {0, ((Subscript[a, 2,2])-(Subscript[a, 3,3])), 0}, {0, 0, 1}}));
P.MatrixExp[M].Inverse[P] //Simplify// MatrixForm

n=3;
M=Table[If[i≤j,(Subscript[a, i,j]),0], {i,n},{j,n}];
P=DiagonalMatrix[Table[(∏_(i=k)^(n-1))(∏_(j=i+1)^n)((Subscript[a, i,i])-(Subscript[a, j,j])),{k,n}]];
MatrixForm /@ {M,P}

P.MatrixExp[M].Inverse[P] //Simplify// MatrixForm

n=4;
M=Table[If[i≤j,(Subscript[a, i,j]),0], {i,n},{j,n}];
P=DiagonalMatrix[Table[(∏_(i=k)^(n-1))(∏_(j=i+1)^n)((Subscript[a, i,i])-(Subscript[a, j,j])),{k,n}]];
MatrixForm /@ {M,P}

P.MatrixExp[M].Inverse[P] //Simplify// MatrixForm

n=3; (Subscript[e, i_,j_]):=Normal[SparseArray[{i,j}->1, {n,n}]]

(Subscript[e, 1,2]) // MatrixForm

Table[MatrixForm /@ ((Subscript[e, i,j])->MatrixExp[α (Subscript[e, i,j])]), {i,n},{j,n}] // MatrixForm

MatrixExp[α (Subscript[e, 1,2])].MatrixExp[β (Subscript[e, 2,3])] // MatrixForm

MatrixExp[β (Subscript[e, 2,3])].MatrixExp[α (Subscript[e, 1,2])] // MatrixForm

MatrixExp[β (Subscript[e, 2,3])].MatrixExp[α (Subscript[e, 1,2])].MatrixExp[α β (Subscript[e, 1,3])] // MatrixForm

n=3;
M=Table[Which[
i>j, 0,
i==j, (Subscript[a, i]),
i<j,((Subscript[a, i])-(Subscript[a, j]))(Subscript[a, i,j])
], {i,n},{j,n}];
M // MatrixForm

MatrixExp[M] //FullSimplify// MatrixForm

M=(({{(Subscript[a, 1]), ((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 3]))((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 2])) (Subscript[a, 1,2]),  ((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 3]))(Subscript[a, 1,3])}, {0, (Subscript[a, 2]), ((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 3]))((Subscript[a, 2])-(Subscript[a, 3])) (Subscript[a, 2,3])}, {0, 0, (Subscript[a, 3])}}));
MatrixExp[M] //FullSimplify// MatrixForm

n=4;
M=Table[Which[
i>j, 0,
i==j, (Subscript[a, i]),
i<j,((Subscript[a, i])-(Subscript[a, j]))(Subscript[a, i,j])
], {i,n},{j,n}];
M // MatrixForm

MatrixExp[M] //FullSimplify// MatrixForm

M=(({{(Subscript[a, 1]), ((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 4]))((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 3]))((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 2])) (Subscript[a, 1,2]), ((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 4]))((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 3])) (Subscript[a, 1,3]), ((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 4])) (Subscript[a, 1,4])}, {0, (Subscript[a, 2]), ((Subscript[a, 2])-(Subscript[a, 4]))((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 3]))((Subscript[a, 2])-(Subscript[a, 3])) (Subscript[a, 2,3]), ((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 4]))((Subscript[a, 2])-(Subscript[a, 4])) (Subscript[a, 2,4])}, {0, 0, (Subscript[a, 3]), ((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 4]))((Subscript[a, 2])-(Subscript[a, 4]))((Subscript[a, 3])-(Subscript[a, 4])) (Subscript[a, 3,4])}, {0, 0, 0, (Subscript[a, 4])}}));
MatrixExp[M] //FullSimplify// MatrixForm

n=3;
M=Table[Which[
i>j, 0,
i==j,(Subscript[a, i]),
i<j,(Subscript[a, i,j])
], {i,n},{j,n}];
M // MatrixForm

M=(({{(Subscript[a, 1]), ((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 3]))(Subscript[a, 1,2]), ((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 3]))(Subscript[a, 1,3])}, {0, 0, ((Subscript[a, 1])-(Subscript[a, 3]))(Subscript[a, 2,3])}, {0, 0, (Subscript[a, 3])}}));
MatrixExp[M] //FullSimplify// MatrixForm