Pensieve header: Implementing and verifying $gl_n^\epsilon$, version 2.

(Subscript[χ, cond_]) := If[TrueQ@cond, 1, 0];
B[0,_]=0; B[_,0]=0;
B[c_*x:(Subscript[(e|f|g|h), __]),y_]:=Expand[c B[x,y]];
B[y_,c_*x:(Subscript[(e|f|g|h), __])]:=Expand[c B[y,x]];
B[x_Plus,y_] := B[#,y]& /@ x;
B[x_,y_Plus] := B[x,#]& /@ y;
P[0,_]=0; P[_,0]=0;
P[c_*x:(Subscript[(e|f|g|h), __]),y_]:=Expand[c P[x,y]];
P[y_,c_*x:(Subscript[(e|f|g|h), __])]:=Expand[c P[y,x]];
P[x_Plus,y_] := P[#,y]& /@ x;
P[x_,y_Plus] := P[x,#]& /@ y;

P[(Subscript[e, i_,j_]), (Subscript[f, k_,l_])] := (Subscript[χ, j==k∧i==l]); P[(Subscript[f, k_,l_]), (Subscript[e, i_,j_])] := (Subscript[χ, j==k∧i==l]);
P[(Subscript[e, __]),(Subscript[h, _])]=0; P[(Subscript[h, _]),(Subscript[e, __])]=0;
P[(Subscript[g, _]),(Subscript[f, __])]=0; P[(Subscript[f, __]),(Subscript[g, _])]=0;
P[(Subscript[g, i_]),(Subscript[h, j_])]:=(Subscript[χ, i==j]); P[(Subscript[h, j_]),(Subscript[g, i_])]:=(Subscript[χ, i==j]);
P[(Subscript[(e|g), __]),(Subscript[(e|g), __])]=0;
P[(Subscript[(f|h), __]),(Subscript[(f|h), __])]=0;

B[(Subscript[(h|g), _]),(Subscript[(h|g), _])]= 0; 

B[(Subscript[e, i_,j_]),(Subscript[e, k_,l_])] := (Subscript[χ, j==k])(Subscript[e, i,l])-(Subscript[χ, l==i])(Subscript[e, k,j]);
B[(Subscript[g, i_]),(Subscript[e, j_,k_])] := ((Subscript[χ, i==j])-(Subscript[χ, i==k]))(Subscript[e, j,k]); 
 
B[(Subscript[f, i_,j_]),(Subscript[f, k_,l_])] := ϵ (Subscript[χ, j==k])(Subscript[f, i,l])-ϵ (Subscript[χ, l==i])(Subscript[f, k,j]);
B[(Subscript[h, i_]),(Subscript[f, j_,k_])] := ϵ/2((Subscript[χ, i==j])-(Subscript[χ, i==k]))(Subscript[f, j,k]);

B[(Subscript[e, i_,j_]),(Subscript[h, k_])] := -ϵ/2((Subscript[χ, i==k])-(Subscript[χ, j==k]))(Subscript[e, i,j]);
B[(Subscript[g, i_]),(Subscript[f, j_,k_])] := ((Subscript[χ, i==j])-(Subscript[χ, i==k]))(Subscript[f, j,k]);
B[(Subscript[e, i_,j_]),(Subscript[f, k_,l_])] := Expand[
(Subscript[χ, j==k])(ϵ (Subscript[χ, i<l])(Subscript[e, i,l])+(Subscript[χ, i==l])((Subscript[h, i])+ϵ/2 (Subscript[g, i]))+(Subscript[χ, i>l])(Subscript[f, i,l])) - (Subscript[χ, l==i])(ϵ (Subscript[χ, k<j])(Subscript[e, k,j])+(Subscript[χ, k==j])((Subscript[h, j])+ϵ/2 (Subscript[g, j]))+(Subscript[χ, k>j])(Subscript[f, k,j]))];

B[(Subscript[e, j_,k_]),(Subscript[g, i_])] := Expand[-B[(Subscript[g, i]),(Subscript[e, j,k])]];
B[(Subscript[f, j_,k_]),(Subscript[h, i_])] := Expand[-B[(Subscript[h, i]),(Subscript[f, j,k])]];
B[(Subscript[h, k_]),(Subscript[e, i_,j_])] := Expand[-B[(Subscript[e, i,j]),(Subscript[h, k])]];
B[(Subscript[f, j_,k_]),(Subscript[g, i_])] := Expand[-B[(Subscript[g, i]),(Subscript[f, j,k])]];
B[(Subscript[f, i_,j_]),(Subscript[e, k_,l_])] := Expand[-B[(Subscript[e, k,l]),(Subscript[f, i,j])]]

(SuperPlus[Basis])[n_] := Union@Flatten@{
Table[(Subscript[e, i,j]), {i,n-1}, {j,i+1,n}],
Table[(Subscript[g, i]), {i,n}]
};
(SuperMinus[Basis])[n_] := Union@Flatten@{
Table[(Subscript[f, i,j]), {i,2,n}, {j,i-1}],
Table[(Subscript[h, i]), {i,n}]
};
Basis[n_] := Join[(SuperPlus[Basis])[n], (SuperMinus[Basis])[n]];

Basis[4]

n=3;
Table[
{x,y}->B[x,y],
{x,Basis[n]}, {y,Basis[n]}
]// MatrixForm

n=4;
Table[
{x,y}=t; B[x,y]+B[y,x],
{t, Tuples[Basis[n], 2]}
]

n=3;
DeleteCases[Flatten@Table[
{x,y,z}-> P[B[x,y],z]+P[y,B[x,z]],
{x,Basis[n]}, {y,Basis[n]},{z,Basis[n]}
], _->0]

n=3;
DeleteCases[Table[
({x,y,z}=t)-> B[x,B[y,z]]+B[y,B[z,x]]+B[z,B[x,y]],
{t, Tuples[Basis[n], 3]}
], _->0]

The Derived Series (DS).

DS[n_,k_,1]:= DS[n,k,1] = Flatten[Table[(ϵ^j)Basis[n], {j,0,k}]];
DS[n_,k_,p_] /; p>1 := DS[n,k,p]=DeleteCases[Union@Flatten@Outer[B, DS[n,k,p-1],DS[n,k,p-1]] /. (ϵ^(j_.))/;j>k:>0,0]

DS[2,1,1]

DS[2,1,2]

DS[2,1,3]

DS[2,1,4]

DS[2,2,1]

DS[2,2,2]

DS[2,2,3]

DS[2,2,4]

DS[2,2,5]

DS[2,3,1]

DS[2,3,2]

DS[2,3,3]

DS[2,3,4]

DS[2,3,5]

DS[2,10,7]

DS[3,1,1]

DS[3,1,2]

DS[3,1,3]

DS[3,1,4]

DS[3,1,5]

DS[5,1,5]

DS[5,1,6]

DS[5,2,6]

DS[5,3,6]

DS[5,3,7]