n=3;
DeleteCases[Flatten@Table[
{x,y,z}-> P[B[x,y],z]+P[y,B[x,z]],
{x,Basis[n]}, {y,Basis[n]},{z,Basis[n]}
] /. {(Subscript[s, 2])->(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 3])->1,(Subscript[s, 4])->1,(Subscript[s, 5])->(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 6])->(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 7])->1,(Subscript[s, 8])->1,(Subscript[s, 9])->1,(Subscript[s, 10])->1,(Subscript[s, 11])->1}, _->0]

{x,y,z}={(Subscript[e, 1,3]),(Subscript[f, 2,1]),(Subscript[f, 3,2])};
{ P[B[x,y],z],P[y,B[x,z]]}

B[x,y]

B[x,z]

DeleteCases[Table[
({x,y,z}=t)-> B[x,B[y,z]]+B[y,B[z,x]]+B[z,B[x,y]],
{t, Tuples[Basis[n], 3]}
]//. {(Subscript[s, 1])->-1/2,(Subscript[s, 2])->(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 3])->1,(Subscript[s, 4])->1,(Subscript[s, 5])->(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 6])->(Subscript[s, 1]),(Subscript[s, 7])->1,(Subscript[s, 8])->1,(Subscript[s, 9])->1,(Subscript[s, 10])->1,(Subscript[s, 11])->1}, _->0]

{x,y,z}={(Subscript[e, 1,2]),(Subscript[e, 1,3]),(Subscript[f, 2,1])};
{ B[y,z], B[x,B[y,z]],B[z,x], B[y,B[z,x]],B[x,y],B[z,B[x,y]]}//Column