Pensieve header: Figuring out polynomiality for the NOE1 program.

Initialization

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\2016-12"];
Once[<<KnotTheory`];
Once[<<"../Projects/Profile/Profile.m"]

Rotational Virtual Knots

RVK::usage="RVK[xs, rots] represents a Rotational Virtual Knot with a list of n Xp/Xm crossings xs and a length 2n list of rotation numbers rots. Crossing sites are indexed 1 through 2n, and rots[[k]] is the rotation between site k-1 and site k. RVK is also a casting operator converting to the RVK presentation from other knot presentations.";
RVK[pd_PD] := Module[{n,xs,x,rots,front,k},
n=Length[pd];
xs=List@@pd /. x_X :> If[PositiveQ[x], Xp[x[[4]],x[[1]]], Xm[x[[2]],x[[1]]]];
rots=Table[0, {2n}];
front={0};
For[k=0, k<2n, ++k,
If[k==0∨FreeQ[front, -k],
front = Flatten[front /. k->Catch[xs /. {
Xp[k+1,l_]|Xm[l_,k+1] :> Throw[{l,k+1,1-l}],
Xp[l_,k+1]|Xm[k+1,l_] :> (++rots[[l]]; Throw[{1-l,k+1,l}])
}]],
If[MatchQ[front,{___,k,___,-k,___}], --rots[[k+1]]]
]
];
RVK[xs,rots]
];
RVK[K_] := RVK[PD[K]];

NOE-1t

Warning: Logos may be disabled.

Λ[k_]:= 0(((Subscript[t, k])-1)(2(((α β+δ μ))^2)-(α^2)(β^2))-4(Subscript[v, k])(Subscript[c, k])(Subscript[w, k])(δ^2)(μ^2)-
δ(1+μ)((Subscript[w, k]^2)(α^2)+(Subscript[v, k]^2)(β^2))-(Subscript[v, k]^2)(Subscript[w, k]^2)(δ^3)(1+3μ)-2(α β+2δ μ+(Subscript[v, k])(Subscript[w, k])(δ^2)(1+2μ)+2(Subscript[c, k])δ (μ^2))((Subscript[w, k])α+(Subscript[v, k])β)-4((Subscript[c, k])(μ^2)+(Subscript[v, k])(Subscript[w, k])δ(1+μ))(α β+δ μ))(1+(Subscript[t, k]))/4;

(Subscript[R, i_,j_]^(+)):=𝔼[1,Log[(Subscript[t, i])](Subscript[c, j]),(Subscript[v, i])(Subscript[w, j]),(Subscript[v, i])(Subscript[c, i])(Subscript[w, j])+(Subscript[c, i])(Subscript[c, j])+(Subscript[v, i]^2)(Subscript[w, j]^2)/4];
(Subscript[R, i_,j_]^(-)):=𝔼[1,-Log[(Subscript[t, i])](Subscript[c, j]),-(Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[v, i])(Subscript[w, j]),-(Subscript[c, i])(Subscript[c, j])+(Subscript[t, i]^(-1))(Subscript[v, i])(Subscript[c, j])(Subscript[w, j])-(Subscript[t, i]^(-2))(Subscript[v, i]^2)(Subscript[w, j]^2)/4];
((Subscript[ur, i_]):=𝔼[(Subscript[t, i]^(-1/2)),0,0,(Subscript[c, i])(Subscript[t, i]^(-2))]; (Subscript[nr, i_]):=𝔼[(Subscript[t, i]^(1/2)),0,0,-(Subscript[c, i])(Subscript[t, i]^2)];)

(Subscript[DP, x_->(Subscript[D, α_]),y_->(Subscript[D, β_])])[P_][f_]:= (* means P[(∂_α),(∂_β)][f] *)
(Subscript[PP, DP])@Total[CoefficientRules[P,{x,y}]/.({m_,n_}->c_):>c D[f,{α,m},{β,n}]]

𝔼/:𝔼[ω1_,L1_,Q1_,P1_]𝔼[ω2_,L2_,Q2_,P2_]:=CF@𝔼[ω1 ω2,L1+L2,ω2 Q1+ω1 Q2,((ω2)^4)P1+((ω1)^4)P2];

(Subscript[N, (Subscript[w, i_])(Subscript[v, j_])->k_])[𝔼[ω_,L_,Q_,P_]]:=(Subscript[PP, Nwv])@With[{q=((1-(Subscript[t, k]))α β+β (Subscript[v, k])+δ (Subscript[v, k])(Subscript[w, k])+α (Subscript[w, k]))/μ},CF[
𝔼[μ ω,L,μ ω q+μ(Q/.(Subscript[w, i])|(Subscript[v, j])->0),(μ^4)((Subscript[DP, (Subscript[w, i])->(Subscript[D, α]),(Subscript[v, j])->(Subscript[D, β])])[P][(E^q)]/.(E^(_))->1)+(ω^4)Λ[k]]/.μ->1+((Subscript[t, k])-1)δ/.{α->(ω^(-1))((∂_(Subscript[w, i]))Q/.(Subscript[v, j])->0),β->(ω^(-1))((∂_(Subscript[v, j]))Q/.(Subscript[w, i])->0),δ->(ω^(-1))(∂_((Subscript[w, i]),(Subscript[v, j])))Q}]];

(Subscript[N, (Subscript[c, j_])(Subscript[(x:v|w), i_])->k_])[𝔼[ω_,L_,Q_,P_]]:=(Subscript[PP, Ncx])@With[{q=(E^γ)β (Subscript[x, k])+γ (Subscript[c, k])},CF[
𝔼[ω,γ (Subscript[c, k])+(L/.(Subscript[c, j])->0),ω (E^γ)β (Subscript[x, k])+(Q/.(Subscript[x, i])->0),(E^(-q))(Subscript[DP, (Subscript[c, j])->(Subscript[D, γ]),(Subscript[x, i])->(Subscript[D, β])])[P][(E^q)]]/.{γ->(∂_(Subscript[c, j]))L,β->(ω^(-1))(∂_(Subscript[x, i]))Q}]];

(Subscript[m, i_,j_->k_])[Z_𝔼]:=(Subscript[PP, m])@Module[{x,z},
CF[(Z//(Subscript[N, (Subscript[w, i])(Subscript[v, j])->x])//(Subscript[N, (Subscript[c, i])(Subscript[v, x])->x])//(Subscript[N, (Subscript[w, x])(Subscript[c, j])->x]))/.(Subscript[z_, i|j|x])->(Subscript[z, k])]]

Z

(Subscript[ul, _])=(Subscript[nl, _])=rot[_,0] = 𝔼[1,0,0,0];
rot[i_,1] := (Subscript[ur, i]);
rot[i_,n_Integer] /; n>1 := Module[{y}, rot[i,n-1]rot[y,1] // (Subscript[m, i,y->i])];
rot[i_,-1] := (Subscript[nr, i]);
rot[i_,n_Integer] /; n<-1 := Module[{y}, rot[i,n+1]rot[y,-1] // (Subscript[m, i,y->i])];

(Subscript[t, _])=t;
Z[K_] := Z[RVK@K];
Z[rvk_RVK] := (Subscript[PP, z])@Module[{todo,n,rots,ζ,done,st,x, ζ1, i,j,k,k1,k2,k3},
{todo,rots}=List@@rvk;
AppendTo[rots,0];
n=Length[todo];
ζ=𝔼[1,0,0,0];
done={0};
st=Range[0,2n+1];
While[todo=!={},
{x}=MaximalBy[todo, Length[done⋂{#[[1]], #[[2]], #[[1]]-1,#[[2]]-1}]&,1];
Z$todo=todo; Z$x=x;
{i,j}=List@@x;
ζ1=Switch[Head[x],
 Xp, (Subscript[m, j,k->j])[(Subscript[R, i,j]^(+))((Subscript[R, k3,k]^(-))(Subscript[nr, k1])(Subscript[ul, k2])//(Subscript[m, k,k1->k])//(Subscript[m, k,k2->k])//(Subscript[m, k,k3->k]))],
 Xm, (Subscript[m, j,k->j])[(Subscript[R, i,j]^(-))((Subscript[R, k,k3]^(+))(Subscript[nr, k1])(Subscript[ul, k2])//(Subscript[m, k,k1->k])//(Subscript[m, k,k2->k])//(Subscript[m, k,k3->k]))]
];
ζ1=rot[k,rots[[i]]]ζ1 // (Subscript[m, k,i->i]); rots[[i]]=0;
ζ1=ζ1 rot[k, rots[[i+1]]] // (Subscript[m, i,k->i]); rots[[i+1]]=0;
ζ1=rot[k,rots[[j]]]ζ1 // (Subscript[m, k,j->j]); rots[[j]]=0;
ζ1=ζ1 rot[k, rots[[j+1]]] // (Subscript[m, j,k->j]); rots[[j+1]]=0;
ζ*=ζ1;
If[MemberQ[done, i],  ζ=ζ//(Subscript[m, i,i+1->i]); st=st/.st[[i+2]]->st[[i+1]]];
If[MemberQ[done, i-1],  ζ=ζ//(Subscript[m, st[[i]],i->st[[i]]]); st=st/.st[[i+1]]->st[[i]]]; 
If[MemberQ[done, j],  ζ=ζ//(Subscript[m, j,j+1->j]); st=st/.st[[j+2]]->st[[j+1]]]; 
If[MemberQ[done, j-1],  ζ=ζ//(Subscript[m, st[[j]],j->st[[j]]]); st=st/.st[[j+1]]->st[[j]]];
done=done⋃{i-1,i,j-1,j};
todo=DeleteCases[todo, x]
];
ζ /. {(Subscript[v, 0])->v,(Subscript[c, 0])->c,(Subscript[w, 0])->w}
]

CF1[𝔼[ω_,L_,Q_,P_]]:=(Subscript[PP, CF1])@𝔼[Expand@Together@ω, Expand@Together@L, Expand@Together@Q,Expand@(Subscript[PP, Together4P])@Together@P];
CF[𝔼[ω_,L_,Q_,P_]]:=(Subscript[PP, CF])@𝔼[Factor@ω, Factor@L,
(Subscript[PP, CF4Q])@Module[{vars},
vars=Union@Cases[Q, (Subscript[(a|c|v|w), _]),∞];
Total[CoefficientRules[Q, vars] /. (p_->cc_) :> ((Subscript[PP, Factor])@Factor@cc)(Times@@((vars^p)))]],
(Subscript[PP, CF4P])@Module[{vars},
vars=Union@Cases[P, (Subscript[(a|c|v|w), _]),∞];
Total[CoefficientRules[P, vars] /. (p_->cc_) :> ((Subscript[PP, Factor])@Factor@cc)(Times@@((vars^p)))]]
];

Timing[Z[Knot[3,1]]]

Timing[Z[Knot[4,1]]]

Quuww=𝔼[ω,Sum[(Subscript[l, i,j])Log[(Subscript[t, i])](Subscript[c, j]),{i,3},{j,3}],Sum[(Subscript[a, i,j])(Subscript[v, i])(Subscript[w, j]),{i,3},{j,3}],
Sum[(Subscript[a, 1000i+100j+10k+k])(Subscript[v, i])(Subscript[v, j])(Subscript[w, k])(Subscript[w, l]),{i,3},{j,i,3},{k,3},{l,k,3}]];
Quuww // (Subscript[N, (Subscript[w, 1])(Subscript[v, 2])->4])

Quuww=𝔼[ω,Sum[(Subscript[l, i,j])Log[(Subscript[t, i])](Subscript[c, j]),{i,3},{j,3}],Sum[(Subscript[a, i,j])(Subscript[v, i])(Subscript[w, j]),{i,3},{j,3}],
Sum[(Subscript[a, 1000i+100j+10k+k])(Subscript[v, i])(Subscript[v, j])(Subscript[w, k])(Subscript[w, l]),{i,3},{j,3},{k,3},{l,3}]];
Quuww // (Subscript[m, 1,2->4])