Pensieve header: Implementing $\mathbb O$.

Evaluate[Deg /@ {b,c,u,w,ϵ}] = {1,0,1,0,1}

Deg[b]

Clear[x];
CoefficientRules[Normal[Series[Sin[x], {x,0,5}] ], {x}]

𝕆[n_, poly_, specs___] := Module[{vs,us,h},
vs=Join@@(First /@ {specs});
us=Join@@({specs} /. (l_->s_) :> (l/.(Subscript[x_, i_]):>(Subscript[x, s])));
Total[
CoefficientRules[
Normal@Series[poly /. (Subscript[b, i_]):>h (Subscript[b, i])/.Thread[vs->(h^(Deg/@vs)) vs], {h,0,n}] /. h->1, vs
] /. (p_->c_) :> c UU@@((us^p))
]
]

{n=3, poly=Exp[(Subscript[b, 1])(Subscript[c, 2])+(((E^(Subscript[b, 1]))-1)/(Subscript[b, 1]))(Subscript[u, 1])(Subscript[w, 2])], specs=Sequence[{(Subscript[u, 1])}->1,{(Subscript[c, 2]),(Subscript[w, 2])}->3]}

vs=Join@@(First /@ {specs})

us=Join@@({specs} /. (l_->s_) :> (l/.(Subscript[x_, i_]):>(Subscript[x, s])))

Thread[vs->(h^(Deg/@vs)) vs]

CoefficientRules[
Normal@Series[poly /. Thread[vs->(h^(Deg/@vs)) vs], {h,0,n}] /. h->1, vs
] /. (p_->c_) :> c UU@@((us^p))

𝕆[5,Exp[(Subscript[b, 1])(Subscript[c, 2])+(((E^(Subscript[b, 1]))-1)/(Subscript[b, 1]))(Subscript[u, 1])(Subscript[w, 2])], {(Subscript[u, 1])}->1,{(Subscript[c, 2]),(Subscript[w, 2])}->3]