Pensieve header: Finding a $V$ leading to a trivial $\Phi$, with Huan Vo.

SetDirectory["C:\\drorbn\\AcademicPensieve\\2016-11"];

CF[expr_] := (expr /. (E^(x_)):>(E^(Simplify[x /. (Subscript[b, i_]):>2Log[(Subscript[t, i])]])))// Together // ExpandNumerator // ExpandDenominator;
𝔼 /: CF[𝔼[ω_,Q_]] := 𝔼[CF[ω], CF[Q]];
𝔼 /: 𝔼[ω1_, Q1_]𝔼[ω2_, Q2_] := CF@𝔼[ω1 ω2, Q1+Q2];
𝔼[ω1_,Q1_] ≡ 𝔼[ω2_, Q2_] := CF[ω1==ω2∧Q1==Q2];

(Subscript[N, (Subscript[u, i_])(Subscript[c, j_])->k_])[𝔼[ω_, Q_]] := CF[
𝔼[ω,(E^(-γ))β (Subscript[u, k])+γ (Subscript[c, k])+(Q/.(Subscript[c, j])|(Subscript[u, i])->0)]/.{γ->(∂_(Subscript[c, j]))Q,β->(∂_(Subscript[u, i]))Q}];
(Subscript[N, (Subscript[w, i_])(Subscript[c, j_])->k_])[𝔼[ω_, Q_]] := CF[
𝔼[ω, (E^γ)α (Subscript[w, k])+γ (Subscript[c, k])+(Q/.(Subscript[c, j])|(Subscript[w, i])->0)]/.{γ->(∂_(Subscript[c, j]))Q,α->(∂_(Subscript[w, i]))Q}];
(Subscript[N, (Subscript[w, i_])(Subscript[u, j_])->k_])[𝔼[ω_,Q_]] := CF[
𝔼[ν ω , -(Subscript[b, k])ν α β+ν β (Subscript[u, k])+ν δ (Subscript[u, k])(Subscript[w, k])+ν α (Subscript[w, k]) +(Q/.(Subscript[w, i])|(Subscript[u, j])->0)] /. ν-> (((1+(Subscript[b, k]) δ))^(-1)) /. {α->(∂_(Subscript[w, i]))Q/.(Subscript[u, j])->0, β->(∂_(Subscript[u, j]))Q/.(Subscript[w, i])->0, δ->(∂_((Subscript[w, i]),(Subscript[u, j])))Q}];

(Subscript[m, i_,j_->k_])[𝔼[ω_, Q_]] :=CF[Module[{x},
(𝔼[ω, Q] /. {(Subscript[b, i|j])->(Subscript[b, k]), (Subscript[t, i|j])->(Subscript[t, k])} // (Subscript[N, (Subscript[w, i])(Subscript[c, j])->x])//(Subscript[N, (Subscript[u, i])(Subscript[c, x])->x])//(Subscript[N, (Subscript[w, x])(Subscript[u, j])->x])) /. {(Subscript[c, i])->(Subscript[c, k]),(Subscript[w, j])->(Subscript[w, k]),(Subscript[y_, x]):>(Subscript[y, k])}]]

(Subscript[R, i_,j_])[p_]:=𝔼[1, p (Subscript[b, i])(Subscript[c, j])+(Subscript[b, i]^(-1))((E^(p (Subscript[b, i])))-1)(Subscript[u, i])(Subscript[w, j])]//CF;
(Subscript[R, i_,j_]^(+)):=(Subscript[R, i,j])[1]; (Subscript[R, i_,j_]^(-)):=(Subscript[R, i,j])[-1];

𝔼 /: (((e_𝔼))^(σ[s___List])):=CF[e /. Flatten@Table[{
(Subscript[b, k])->Total[(Subscript[b, #])&/@{s}[[k]]], (Subscript[c, k])->Total[(Subscript[c, #])&/@{s}[[k]]],(Subscript[u, k])->Total[(Subscript[u, #])&/@{s}[[k]]],(Subscript[w, k])->Total[(Subscript[w, #])&/@{s}[[k]]],(Subscript[t, k])->Times@@((Subscript[t, #])&/@{s}[[k]])
},{k,1,Length@{s}}]];
σ[l___,k_Integer,r___]:=σ[l,{k},r];

𝔼/: e1_𝔼**e2_𝔼 := Module[{λ,ν,e},
λ=(Union@Cases[e1,(Subscript[(b|t|c|u|w), k_]):>k,∞])⋂(Union@Cases[e2,(Subscript[(b|t|c|u|w), k_]):>k,∞]);
ν=Table[Unique[], {Length@λ}];
e=e1(e2/.Flatten@Table[{(Subscript[b, λ[[k]]])->(Subscript[b, ν[[k]]]),(Subscript[t, λ[[k]]])->(Subscript[t, ν[[k]]]),(Subscript[c, λ[[k]]])->(Subscript[c, ν[[k]]]),(Subscript[u, λ[[k]]])->(Subscript[u, ν[[k]]]),(Subscript[w, λ[[k]]])->(Subscript[w, ν[[k]]])}, {k,Length@λ}]);
Do[e=(Subscript[m, λ[[k]],ν[[k]]->λ[[k]]])[e], {k,Length@λ}];
e
]

A[n_][e_𝔼]:=(e/.{(Subscript[c, n])-> -(Subscript[c, n]),(Subscript[w, n])->-(Subscript[w, n])})//(Subscript[N, (Subscript[u, n])(Subscript[c, n])->n])//(Subscript[N, (Subscript[w, n])(Subscript[c, n])->n])//(Subscript[N, (Subscript[w, n])(Subscript[u, n])->n]);
A[][e_𝔼] := e;
A[n_,r___][e_𝔼] := e // A[n] // A[r];

θ[i_][e_𝔼]:=(e/.{(Subscript[b, i]):>-(Subscript[b, i]),(Subscript[c, i]):>-(Subscript[c, i]),(Subscript[u, i]):>(Subscript[w, i]),(Subscript[w, i]):>(Subscript[u, i]),(Subscript[t, i]):>(Subscript[t, i]^(-1))})//CF//(Subscript[N, (Subscript[w, i])(Subscript[u, i])->i]);
θ[][e_𝔼] := e;
θ[n_,r___][e_𝔼] := e // θ[n] // θ[r];

(Subscript[f, 11])=(Subscript[f, 21])=(Subscript[f, 22])=0; (Subscript[f, 12])=1/2;
V=𝔼[h[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])],(Subscript[b, 1]) (Subscript[c, 1]) (Subscript[f, 11])+(Subscript[b, 1]) (Subscript[c, 2]) (Subscript[f, 12])+(Subscript[b, 2]) (Subscript[c, 1]) (Subscript[f, 21])+(Subscript[b, 2]) (Subscript[c, 2]) (Subscript[f, 22])+(Subscript[u, 1]) (Subscript[w, 1]) (Subscript[g, 11])[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]+(Subscript[u, 1]) (Subscript[w, 2]) (Subscript[g, 12])[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]+(Subscript[u, 2]) (Subscript[w, 1]) (Subscript[g, 21])[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]+(Subscript[u, 2]) (Subscript[w, 2]) (Subscript[g, 22])[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]];
(Subscript[fi, 11])=(Subscript[fi, 21])=(Subscript[fi, 22])=0; (Subscript[fi, 12])=-1/2;
Vi=𝔼[hi[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])],(Subscript[b, 1]) (Subscript[c, 1]) (Subscript[fi, 11])+(Subscript[b, 1]) (Subscript[c, 2]) (Subscript[fi, 12])+(Subscript[b, 2]) (Subscript[c, 1]) (Subscript[fi, 21])+(Subscript[b, 2]) (Subscript[c, 2]) (Subscript[fi, 22])+(Subscript[u, 1]) (Subscript[w, 1]) (Subscript[gi, 11])[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]+(Subscript[u, 1]) (Subscript[w, 2]) (Subscript[gi, 12])[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]+(Subscript[u, 2]) (Subscript[w, 1]) (Subscript[gi, 21])[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]+(Subscript[u, 2]) (Subscript[w, 2]) (Subscript[gi, 22])[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]];

{(Subscript[g, 12])->(((Subscript[gi, 12]) (Subscript[t, 1]) (-1+(Subscript[b, 1]) (Subscript[b, 2]) (Subscript[g, 21]) (Subscript[gi, 12]) (Subscript[t, 1])))/((-1+(Subscript[b, 1]) (Subscript[gi, 11])) (-1+(Subscript[b, 2]) (Subscript[gi, 22])))),(Subscript[g, 22])->(((Subscript[gi, 22])-(Subscript[b, 1]) (Subscript[g, 21]) (Subscript[gi, 12]) (Subscript[t, 1]))/(-1+(Subscript[b, 2]) (Subscript[gi, 22]))),(Subscript[gi, 21])->(((Subscript[g, 21]) (-1+(Subscript[b, 1]) (Subscript[gi, 11])) (-1+(Subscript[b, 2]) (Subscript[gi, 22])) (Subscript[t, 1]))/(-1+(Subscript[b, 1]) (Subscript[b, 2]) (Subscript[g, 21]) (Subscript[gi, 12]) (Subscript[t, 1]))),(Subscript[g, 11])->(((Subscript[gi, 11])-(Subscript[b, 2]) (Subscript[g, 21]) (Subscript[gi, 12]) (Subscript[t, 1]))/(-1+(Subscript[b, 1]) (Subscript[gi, 11])))} /. {(Subscript[g, j_]):> (Subscript[g, j])[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])], (Subscript[gi, j_]):> (Subscript[gi, j])[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]} /. Rule->Set;
hi[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])]=((h[(Subscript[b, 1]),(Subscript[b, 2]),(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2])])^(-1));

V

Eqn1=(V**Vi≡𝔼[1,0])

Φ=(Vi^(σ[{1,2},3]))**(Vi^(σ[1,2]))**(V^(σ[2,3]))**(V^(σ[1,{2,3}]))

Table[FactorList@Numerator[(∂_((Subscript[u, i]),(Subscript[w, j])))(Φ[[2]])], {i,1},{j,1}]

-1+(Subscript[b, 1]) (Subscript[b, 3]) (Subscript[t, 1]) (Subscript[t, 2]) (Subscript[g, 21])[(Subscript[b, 1])+(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 3]),(Subscript[t, 1]) (Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])] (Subscript[gi, 12])[(Subscript[b, 1])+(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 3]),(Subscript[t, 1]) (Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])]+(Subscript[b, 2]) (Subscript[b, 3]) (Subscript[t, 1]) (Subscript[t, 2]) (Subscript[g, 21])[(Subscript[b, 1])+(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 3]),(Subscript[t, 1]) (Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])] (Subscript[gi, 12])[(Subscript[b, 1])+(Subscript[b, 2]),(Subscript[b, 3]),(Subscript[t, 1]) (Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])]//Simplify

(Subscript[g, 21])[b1_,b2_,t1_,t2_] := (1/(t1 b1 b2)); (Subscript[gi, 12])[b1_,b2_,t1_,t2_]:=1