The Turbo-Gassner Representation

Pensieve header: The turbo Gassner representation. Continues MinimalGassnerPlus.nb and pensieve://Projects/OneCo-1604/.

The Gassner Representation

(Subscript[G, i_,j_]):=ReplaceAll[#,(Subscript[v, j]):>(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[v, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[v, j])]&

R3l={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,2])//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 2,3])

R3r={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 2,3])//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 1,2])

R3l-R3r // Expand

OCl={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,2])//(Subscript[G, 1,3])

OCr={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 1,2])

OCl-OCr // Expand

UCl={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 1,3])//(Subscript[G, 2,3])

UCr={(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}//(Subscript[G, 2,3])//(Subscript[G, 1,3])

UCl-UCr // Expand

The Gassner-Plus Representation

(Subscript[GP, i_,j_]):=Composition[Expand,
ReplaceAll[#,{(Subscript[w, j]):>(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[w, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[w, j]),
f_.(Subscript[v, j]):>f(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[v, i])+f (Subscript[t, i])(Subscript[v, j])+((Subscript[t, i])-1)((Subscript[t, i])(∂_(Subscript[t, i]))f-(Subscript[t, j])(∂_(Subscript[t, j]))f)(Subscript[w, i])+f (Subscript[t, i])(Subscript[w, i])  }]&
]

R3l={f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])}//(Subscript[GP, 1,2])//(Subscript[GP, 1,3])//(Subscript[GP, 2,3])

R3r={f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])}//(Subscript[GP, 2,3])//(Subscript[GP, 1,3])//(Subscript[GP, 1,2])

R3l-R3r

OCl={f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])}//(Subscript[GP, 1,2])//(Subscript[GP, 1,3])

OCr={f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])}//(Subscript[GP, 1,3])//(Subscript[GP, 1,2])

OCl-OCr

Question. Does GP factor through G? How?

The Turbo-Gassner Representation

TGRule={
f_. (Subscript[v, j]):>f (Subscript[v, j])+f (Subscript[u, k,j,k])+((1-((Subscript[t, j])^(-1))) ((Subscript[t, j]) (∂_(Subscript[t, j]))f-(Subscript[t, k]) (∂_(Subscript[t, k]))f)-f)(Subscript[u, j,j,k]),
f_. (Subscript[v, k]):>f(1- (Subscript[t, j])) (Subscript[v, j])+f (Subscript[t, j]) (Subscript[v, k])-((Subscript[t, j])^(-1))((((Subscript[t, j])-1))^2)((Subscript[t, j]) (∂_(Subscript[t, j]))f-(Subscript[t, k]) (∂_(Subscript[t, k]))f)(Subscript[u, j,j,k])+((Subscript[t, j])-1)((Subscript[t, j]) (∂_(Subscript[t, j]))f-(Subscript[t, k]) (∂_(Subscript[t, k]))f)(Subscript[u, k,j,k]),
f_. (Subscript[v, i_]):>f (Subscript[v, i])+(1-((Subscript[t, j])^(-1)))((Subscript[t, j]) (∂_(Subscript[t, j]))f-(Subscript[t, k]) (∂_(Subscript[t, k]))f)(Subscript[u, j,i,k]),
(Subscript[u, j,j,j]):>(Subscript[u, j,j,j])+(1-((Subscript[t, j])^(-1))) (Subscript[u, j,j,k]),
(Subscript[u, j,j,k]):>((Subscript[t, j])^(-1))(Subscript[u, j,j,k]),
(Subscript[u, j,k,j])|(Subscript[u, k,j,j]):>(1-(Subscript[t, j])) (Subscript[u, j,j,j])-((Subscript[t, j])^(-1))((((Subscript[t, j])-1))^2) (Subscript[u, j,j,k])+(Subscript[t, j]) (Subscript[u, k,j,j])+((Subscript[t, j])-1) (Subscript[u, k,j,k]),
(Subscript[u, j,k,k])|(Subscript[u, k,j,k]):>(((Subscript[t, j])^(-1))-1) (Subscript[u, j,j,k])+(Subscript[u, k,j,k]),
(Subscript[u, k,k,j]):>((((Subscript[t, j])-1))^2) (Subscript[u, j,j,j])+((Subscript[t, j])^(-1))((((Subscript[t, j])-1))^3) (Subscript[u, j,j,k])-2 ((Subscript[t, j])-1) (Subscript[t, j]) (Subscript[u, k,j,j])-2 ((((Subscript[t, j])-1))^2) (Subscript[u, k,j,k])+(Subscript[t, j]^2) (Subscript[u, k,k,j])+((Subscript[t, j])-1) (Subscript[t, j]) (Subscript[u, k,k,k]),
(Subscript[u, k,k,k]):>((Subscript[t, j])^(-1))((((Subscript[t, j])-1))^2) (Subscript[u, j,j,k])+(2-2 (Subscript[t, j])) (Subscript[u, k,j,k])+(Subscript[t, j]) (Subscript[u, k,k,k]),
(Subscript[u, j,j,l_]):>(Subscript[u, j,j,l]),
(Subscript[u, j,k,l_])|(Subscript[u, k,j,l_]):>(1-(Subscript[t, j])) (Subscript[u, j,j,l])+(Subscript[t, j]) (Subscript[u, k,j,l]),
(Subscript[u, k,k,l_]):>((((Subscript[t, j])-1))^2) (Subscript[u, j,j,l])-2 ((Subscript[t, j])-1) (Subscript[t, j]) (Subscript[u, k,j,l])+(Subscript[t, j]^2) (Subscript[u, k,k,l]),
(Subscript[u, i_,j,j])|(Subscript[u, j,i_,j]):>(Subscript[u, j,i,j])+(1-((Subscript[t, j])^(-1))) (Subscript[u, j,i,k]),
(Subscript[u, i_,j,k])|(Subscript[u, j,i_,k]):>((Subscript[t, j])^(-1))(Subscript[u, j,i,k]),
(Subscript[u, i_,k,j])|(Subscript[u, k,i_,j]):>(1-(Subscript[t, j])) (Subscript[u, j,i,j])-((Subscript[t, j])^(-1))((((Subscript[t, j])-1))^2) (Subscript[u, j,i,k])+(Subscript[t, j]) (Subscript[u, k,i,j])+((Subscript[t, j])-1) (Subscript[u, k,i,k]),
(Subscript[u, i_,k,k])|(Subscript[u, k,i_,k]):>(((Subscript[t, j])^(-1))-1) (Subscript[u, j,i,k])+(Subscript[u, k,i,k]),
(Subscript[u, j,i_,l_])|(Subscript[u, i_,j,l_]):>(Subscript[u, j,i,l]),
(Subscript[u, k,i_,l_])|(Subscript[u, i_,k,l_]):>(1-(Subscript[t, j])) (Subscript[u, j,i,l])+(Subscript[t, j]) (Subscript[u, k,i,l]),
(Subscript[u, i1_,i2_,j]):>(Subscript[u, i2,i1,j])+(1-((Subscript[t, j])^(-1))) (Subscript[u, i2,i1,k]),
(Subscript[u, i1_,i2_,k]):>((Subscript[t, j])^(-1))(Subscript[u, i2,i1,k]),
(Subscript[u, i1_,i2_,l_]):>(Subscript[u, i2,i1,l])};
Unset[(Subscript[TG, j_,k_])];
SetDelayed@@{(Subscript[TG, j_,k_]),Expand@*ReplaceAll[(Subscript[u, jj_,ii_,kk_])/;!OrderedQ[{jj,ii}] :> (Subscript[u, ii,jj,kk])]@*ReplaceAll[TGRule]};

checks={f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[u, 1,1,1]),(Subscript[u, 1,1,2]),(Subscript[u, 1,2,1]),(Subscript[u, 1,2,2]),(Subscript[u, 1,2,1]),(Subscript[u, 1,2,2]),(Subscript[u, 2,2,1]),(Subscript[u, 2,2,2]),(Subscript[u, 1,1,3]),(Subscript[u, 1,2,3]),(Subscript[u, 1,2,3]),(Subscript[u, 2,2,3]),(Subscript[u, 0,1,1]),(Subscript[u, 0,1,2]),(Subscript[u, 0,2,1]),(Subscript[u, 0,2,2]),(Subscript[u, 0,1,1]),(Subscript[u, 0,1,2]),(Subscript[u, 0,2,1]),(Subscript[u, 0,2,2]),(Subscript[u, 0,1,3]),(Subscript[u, 0,2,3]),(Subscript[u, 0,1,3]),(Subscript[u, 0,2,3]),(Subscript[u, 0,1,1]),(Subscript[u, 0,1,2]),(Subscript[u, 0,1,3]),(Subscript[u, 3,3,3])};
Short[R3l=checks//(Subscript[TG, 1,2])//(Subscript[TG, 1,3])//(Subscript[TG, 2,3])]

Short[R3r=checks//(Subscript[TG, 2,3])//(Subscript[TG, 1,3])//(Subscript[TG, 1,2])]

R3l-R3r

Short[OCl=checks // (Subscript[TG, 1,2])//(Subscript[TG, 1,3])]

Short[OCr=checks//(Subscript[TG, 1,3])//(Subscript[TG, 1,2])]

OCl-OCr

The Turbo-Burau Representation

η/:((η[i_])^2)=0;
η/:η[i_]η[j_]=0;
(Subscript[ℰ, 0])[f_]:=f/._η->0;
(Subscript[ℰ, j_,k_])[f_]:=Coefficient[f,η[j]]-Coefficient[f,η[k]];
TBRule={
f_. (Subscript[v, j]):>f (Subscript[v, j])+(Subscript[ℰ, 0])[f] (Subscript[u, k,j,k])+((t-1)(Subscript[ℰ, j,k])[f]-(Subscript[ℰ, 0])[f])(Subscript[u, j,j,k]),
f_. (Subscript[v, k]):>f(1- t-η[j]) (Subscript[v, j])+f(t+η[j])(Subscript[v, k])-(((t-1))^2)(Subscript[ℰ, j,k])[f](Subscript[u, j,j,k]) +t(t-1)(Subscript[ℰ, j,k])[f](Subscript[u, k,j,k]),
f_. (Subscript[v, i_]):>f (Subscript[v, i])+(t-1)(Subscript[ℰ, j,k])[f](Subscript[u, j,i,k]),
(Subscript[u, j,j,j]):>(Subscript[u, j,j,j])+(1-(t^(-1))) (Subscript[u, j,j,k]),
(Subscript[u, j,j,k]):>(t^(-1))(Subscript[u, j,j,k]),
(Subscript[u, j,k,j])|(Subscript[u, k,j,j]):>(1-t) (Subscript[u, j,j,j])-(t^(-1))(((t-1))^2) (Subscript[u, j,j,k])+t (Subscript[u, k,j,j])+(t-1) (Subscript[u, k,j,k]),
(Subscript[u, j,k,k])|(Subscript[u, k,j,k]):>((t^(-1))-1) (Subscript[u, j,j,k])+(Subscript[u, k,j,k]),
(Subscript[u, k,k,j]):>(((t-1))^2) (Subscript[u, j,j,j])+(t^(-1))(((t-1))^3) (Subscript[u, j,j,k])-2 (t-1) t (Subscript[u, k,j,j])-2 (((t-1))^2) (Subscript[u, k,j,k])+(t^2) (Subscript[u, k,k,j])+(t-1) t (Subscript[u, k,k,k]),
(Subscript[u, k,k,k]):>(t^(-1))(((t-1))^2) (Subscript[u, j,j,k])+(2-2 t) (Subscript[u, k,j,k])+t (Subscript[u, k,k,k]),
(Subscript[u, j,j,l_]):>(Subscript[u, j,j,l]),
(Subscript[u, j,k,l_])|(Subscript[u, k,j,l_]):>(1-t) (Subscript[u, j,j,l])+t (Subscript[u, k,j,l]),
(Subscript[u, k,k,l_]):>(((t-1))^2) (Subscript[u, j,j,l])-2 (t-1) t (Subscript[u, k,j,l])+(t^2) (Subscript[u, k,k,l]),
(Subscript[u, i_,j,j])|(Subscript[u, j,i_,j]):>(Subscript[u, j,i,j])+(1-(t^(-1))) (Subscript[u, j,i,k]),
(Subscript[u, i_,j,k])|(Subscript[u, j,i_,k]):>(t^(-1))(Subscript[u, j,i,k]),
(Subscript[u, i_,k,j])|(Subscript[u, k,i_,j]):>(1-t) (Subscript[u, j,i,j])-(t^(-1))(((t-1))^2) (Subscript[u, j,i,k])+t (Subscript[u, k,i,j])+(t-1) (Subscript[u, k,i,k]),
(Subscript[u, i_,k,k])|(Subscript[u, k,i_,k]):>((t^(-1))-1) (Subscript[u, j,i,k])+(Subscript[u, k,i,k]),
(Subscript[u, j,i_,l_])|(Subscript[u, i_,j,l_]):>(Subscript[u, j,i,l]),
(Subscript[u, k,i_,l_])|(Subscript[u, i_,k,l_]):>(1-t) (Subscript[u, j,i,l])+t (Subscript[u, k,i,l]),
(Subscript[u, i1_,i2_,j]):>(Subscript[u, i2,i1,j])+(1-(t^(-1))) (Subscript[u, i2,i1,k]),
(Subscript[u, i1_,i2_,k]):>(t^(-1))(Subscript[u, i2,i1,k]),
(Subscript[u, i1_,i2_,l_]):>(Subscript[u, i2,i1,l])};
SetDelayed@@{(Subscript[TB, j_,k_]),Expand@*ReplaceAll[(Subscript[u, jj_,ii_,kk_])/;!OrderedQ[{jj,ii}] :> (Subscript[u, ii,jj,kk])]@*ReplaceAll[TBRule]};

ff=(Subscript[f, 0])+(Subscript[f, 1])η[1]+(Subscript[f, 2])η[2]+(Subscript[f, 3])η[3];
checks={ff (Subscript[v, 1]),ff (Subscript[v, 2]),ff (Subscript[v, 3]),(Subscript[u, 1,1,1]),(Subscript[u, 1,1,2]),(Subscript[u, 1,2,1]),(Subscript[u, 1,2,2]),(Subscript[u, 1,2,1]),(Subscript[u, 1,2,2]),(Subscript[u, 2,2,1]),(Subscript[u, 2,2,2]),(Subscript[u, 1,1,3]),(Subscript[u, 1,2,3]),(Subscript[u, 1,2,3]),(Subscript[u, 2,2,3]),(Subscript[u, 0,1,1]),(Subscript[u, 0,1,2]),(Subscript[u, 0,2,1]),(Subscript[u, 0,2,2]),(Subscript[u, 0,1,1]),(Subscript[u, 0,1,2]),(Subscript[u, 0,2,1]),(Subscript[u, 0,2,2]),(Subscript[u, 0,1,3]),(Subscript[u, 0,2,3]),(Subscript[u, 0,1,3]),(Subscript[u, 0,2,3]),(Subscript[u, 0,1,1]),(Subscript[u, 0,1,2]),(Subscript[u, 0,1,3])};
Short[R3l=checks//(Subscript[TB, 1,2])//(Subscript[TB, 1,3])//(Subscript[TB, 2,3])]

Short[R3r=checks//(Subscript[TB, 2,3])//(Subscript[TB, 1,3])//(Subscript[TB, 1,2])]

R3l-R3r

Short[OCl=checks // (Subscript[TB, 1,2])//(Subscript[TB, 1,3])]

Short[OCr=checks//(Subscript[TB, 1,3])//(Subscript[TB, 1,2])]

OCl-OCr