Pensieve header: A minimal Gassner+ representation. Continues pensieve://2016-05/.

(Subscript[σ, i_,j_]):=Expand@*ReplaceAll[{(Subscript[w, j]):>(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[w, i])+(Subscript[t, i])(Subscript[w, j]),
f_.(Subscript[v, j]):>f(1-(Subscript[t, i]))(Subscript[v, i])+f (Subscript[t, i])(Subscript[v, j])+((Subscript[t, i])-1)((Subscript[t, i])(∂_(Subscript[t, i]))f-(Subscript[t, j])(∂_(Subscript[t, j]))f)(Subscript[w, i])+f (Subscript[t, i])(Subscript[w, i])  }]

Column[R3l=(#//(Subscript[σ, 1,2])//(Subscript[σ, 1,3])//(Subscript[σ, 2,3]))& /@ {
f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])}]

R3r=(#//(Subscript[σ, 2,3])//(Subscript[σ, 1,3])//(Subscript[σ, 1,2]))& /@ {
f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])};
R3l-R3r

Column[OCl=(#//(Subscript[σ, 1,2])//(Subscript[σ, 1,3]))& /@ {
f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])}]

OCr=(#//(Subscript[σ, 1,3])//(Subscript[σ, 1,2]))& /@ {
f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])};
OCl-OCr

Column[UCl=(#//(Subscript[σ, 2,3])//(Subscript[σ, 1,3]))& /@ {
f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])}]

Column[UCr=(#//(Subscript[σ, 1,3])//(Subscript[σ, 2,3]))& /@ {
f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 1]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 2]),f[(Subscript[t, 1]),(Subscript[t, 2]),(Subscript[t, 3])](Subscript[v, 3]),(Subscript[w, 1]),(Subscript[w, 2]),(Subscript[w, 3])}]

UCl-UCr